Номер 40, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

40. (2) Решите уравнения:

а) $\frac{1-x}{(2-x)(x-3)}+1=\frac{1}{2-x}$;

б) $\frac{2}{x^2-4}+\frac{x-4}{x^2+2x}=\frac{1}{x^2-2x}$.

а) Исходное уравнение: $\frac{1-x}{(2-x)(x-3)} + 1 = \frac{1}{2-x}$.Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю: $2-x \neq 0$ и $x-3 \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 2$ и $x \neq 3$.Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем к общему знаменателю $(2-x)(x-3)$:$\frac{1-x}{(2-x)(x-3)} + \frac{(2-x)(x-3)}{(2-x)(x-3)} - \frac{1 \cdot (x-3)}{(2-x)(x-3)} = 0$.Так как в ОДЗ знаменатель не равен нулю, мы можем приравнять числитель к нулю:$1-x + (2-x)(x-3) - (x-3) = 0$.Раскроем скобки:$1-x + (2x - 6 - x^2 + 3x) - x + 3 = 0$.Приведем подобные слагаемые:$-x^2 + ( -1 + 2 + 3 - 1)x + (1 - 6 + 3) = 0$,$-x^2 + 3x - 2 = 0$.Умножим уравнение на $-1$, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:$x^2 - 3x + 2 = 0$.Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = 3$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 2$. Следовательно, корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq 3$).Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ.Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=2$ знаменатель $2-x$ обращается в ноль. Этот корень является посторонним.Таким образом, уравнение имеет единственный корень.Ответ: 1

б) Исходное уравнение: $\frac{2}{x^2 - 4} + \frac{x-4}{x^2 + 2x} = \frac{1}{x^2 - 2x}$.Разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель и ОДЗ:$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$,$x^2 + 2x = x(x+2)$,$x^2 - 2x = x(x-2)$.Уравнение принимает вид:$\frac{2}{(x-2)(x+2)} + \frac{x-4}{x(x+2)} = \frac{1}{x(x-2)}$.Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $x \neq 0$, $x-2 \neq 0$, $x+2 \neq 0$. То есть, $x \neq 0$, $x \neq 2$ и $x \neq -2$.Общий знаменатель дробей — $x(x-2)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от дробей:$2 \cdot x + (x-4) \cdot (x-2) = 1 \cdot (x+2)$.Раскроем скобки и упростим выражение:$2x + (x^2 - 2x - 4x + 8) = x+2$,$2x + x^2 - 6x + 8 = x+2$,$x^2 - 4x + 8 = x+2$.Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:$x^2 - 4x - x + 8 - 2 = 0$,$x^2 - 5x + 6 = 0$.Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 6$. Следовательно, корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0$, $x \neq 2$, $x \neq -2$).Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=2$ знаменатели обращаются в ноль. Этот корень является посторонним.Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.Таким образом, уравнение имеет единственный корень.Ответ: 3