Номер 6, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. (2) $f(x) = \frac{3-x}{(x+7)^2}$.

Для функции $f(x) = \frac{3-x}{(x+7)^2}$ проведем полное исследование.

1. Область определения функции

Функция определена для всех значений $x$, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

$(x+7)^2 \neq 0$

$x+7 \neq 0$

$x \neq -7$

Таким образом, область определения функции: $D(f) = (-\infty; -7) \cup (-7; +\infty)$.

Ответ: Область определения функции: $x \in (-\infty; -7) \cup (-7; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью Oy (x=0):

$f(0) = \frac{3-0}{(0+7)^2} = \frac{3}{49}$

Точка пересечения с осью Oy: $(0, \frac{3}{49})$.

Пересечение с осью Ox (y=f(x)=0):

$\frac{3-x}{(x+7)^2} = 0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

$3-x=0 \implies x=3$.

Точка пересечения с осью Ox: $(3, 0)$.

Ответ: Точка пересечения с осью Oy: $(0, \frac{3}{49})$. Точка пересечения с осью Ox: $(3, 0)$.

3. Асимптоты графика функции

Вертикальная асимптота:

Вертикальная асимптота может существовать в точке разрыва $x=-7$. Найдем предел функции при приближении к этой точке:

$\lim_{x \to -7} f(x) = \lim_{x \to -7} \frac{3-x}{(x+7)^2} = \frac{3-(-7)}{(0)^2} = \frac{10}{+0} = +\infty$.

Поскольку предел равен бесконечности, прямая $x=-7$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота:

Найдем предел функции при $x \to \pm\infty$:

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3-x}{(x+7)^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3-x}{x^2+14x+49} = 0$.

Предел равен нулю, так как степень многочлена в знаменателе (2) выше степени многочлена в числителе (1). Следовательно, прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: Вертикальная асимптота $x=-7$, горизонтальная асимптота $y=0$.

4. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума

Найдем первую производную функции по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(3-x)'(x+7)^2 - (3-x)((x+7)^2)'}{((x+7)^2)^2} = \frac{-1(x+7)^2 - (3-x) \cdot 2(x+7)}{(x+7)^4}$

Упростим выражение, сократив на $(x+7)$:

$f'(x) = \frac{-(x+7) - 2(3-x)}{(x+7)^3} = \frac{-x-7-6+2x}{(x+7)^3} = \frac{x-13}{(x+7)^3}$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю ($f'(x)=0$) и найдя точки, где она не существует.

$f'(x)=0 \implies x-13=0 \implies x=13$.

Производная не существует при $x=-7$, что совпадает с точкой разрыва.

Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, -7)$, $(-7, 13)$ и $(13, +\infty)$:

• Интервал $(-\infty, -7)$: $f'(-8) = \frac{-8-13}{(-8+7)^3} = \frac{-21}{-1} = 21 > 0$. Функция возрастает.
• Интервал $(-7, 13)$: $f'(0) = \frac{0-13}{(0+7)^3} = -\frac{13}{343} < 0$. Функция убывает.
• Интервал $(13, +\infty)$: $f'(14) = \frac{14-13}{(14+7)^3} = \frac{1}{21^3} > 0$. Функция возрастает.

В точке $x=13$ производная меняет знак с "-" на "+", значит, это точка локального минимума. Найдем значение функции в этой точке:

$f(13) = \frac{3-13}{(13+7)^2} = \frac{-10}{20^2} = \frac{-10}{400} = -\frac{1}{40}$.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; -7)$ и $(13; +\infty)$, убывает на $(-7; 13)$. Точка локального минимума: $(13, -\frac{1}{40})$.

5. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную:

$f''(x) = \left(\frac{x-13}{(x+7)^3}\right)' = \frac{(x-13)'(x+7)^3 - (x-13)((x+7)^3)'}{((x+7)^3)^2} = \frac{1(x+7)^3 - (x-13) \cdot 3(x+7)^2}{(x+7)^6}$

Упростим выражение, сократив на $(x+7)^2$:

$f''(x) = \frac{(x+7) - 3(x-13)}{(x+7)^4} = \frac{x+7-3x+39}{(x+7)^4} = \frac{-2x+46}{(x+7)^4} = \frac{-2(x-23)}{(x+7)^4}$

Найдем точки, где $f''(x)=0$ или не существует.

$f''(x)=0 \implies -2(x-23)=0 \implies x=23$.

Вторая производная не существует при $x=-7$.

Знаменатель $(x+7)^4$ всегда положителен при $x \neq -7$, поэтому знак $f''(x)$ определяется знаком числителя $-2(x-23)$.

• Интервал $(-\infty, 23)$ (включая $(-\infty, -7)$ и $(-7, 23)$): $f''(0) = \frac{46}{7^4} > 0$. График вогнутый (выпуклый вниз).
• Интервал $(23, +\infty)$: $f''(24) = \frac{-2(24-23)}{(24+7)^4} < 0$. График выпуклый (выпуклый вверх).

В точке $x=23$ происходит смена знака второй производной, следовательно, это точка перегиба. Найдем значение функции в этой точке:

$f(23) = \frac{3-23}{(23+7)^2} = \frac{-20}{30^2} = \frac{-20}{900} = -\frac{1}{45}$.

Ответ: График вогнутый на $(-\infty; -7)$ и $(-7; 23)$, выпуклый на $(23; +\infty)$. Точка перегиба: $(23, -\frac{1}{45})$.