Номер 12, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. (3) Решите систему неравенств $\begin{cases} f'(x)>0 \\ g'(x)\le0 \end{cases}$; если:

$f(x)=\frac{1}{3}x^3-16x+18, g(x)=\frac{1}{3}x^3-8x^2+21.$

Для решения данной системы неравенств необходимо найти производные функций $f(x)$ и $g(x)$, а затем решить соответствующие неравенства и найти пересечение их решений.

1. Найдем производную функции $f(x)$ и решим неравенство $f'(x) > 0$

Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 16x + 18$.

Найдем ее производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - 16x + 18)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} - 16 \cdot 1x^{1-0} + 0 = x^2 - 16$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$x^2 - 16 > 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x - 4)(x + 4) > 0$

Это квадратичное неравенство. Корни соответствующего уравнения $x^2 - 16 = 0$ равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 4$. Графиком функции $y = x^2 - 16$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решением первого неравенства является объединение интервалов: $x \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$.

2. Найдем производную функции $g(x)$ и решим неравенство $g'(x) \le 0$

Дана функция $g(x) = \frac{1}{3}x^3 - 8x^2 + 21$.

Найдем ее производную:

$g'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - 8x^2 + 21)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 8 \cdot 2x + 0 = x^2 - 16x$.

Теперь решим неравенство $g'(x) \le 0$:

$x^2 - 16x \le 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 16) \le 0$

Корни соответствующего уравнения $x(x - 16) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 16$. Графиком функции $y = x^2 - 16x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями.

Следовательно, решением второго неравенства является отрезок: $x \in [0; 16]$.

3. Найдем решение системы неравенств

Нам необходимо найти пересечение множеств решений, полученных на предыдущих шагах: $x \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$ и $x \in [0; 16]$.

Искомое решение — это все значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно. Найдем пересечение этих множеств.

Множество $(-\infty; -4)$ не имеет общих точек с отрезком $[0; 16]$.

Пересечение множества $(4; +\infty)$ и отрезка $[0; 16]$ есть полуинтервал $(4; 16]$.

Таким образом, общее решение системы неравенств — это $x \in (4; 16]$.

Ответ: $(4; 16]$.