Номер 17, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

17.(3) a)

$f(x) = (\sqrt{5x + 1})^4$;

6)

$f(x) = \frac{1}{(7\sqrt{2x} + 8x)^3}$;

a) Для нахождения производной функции $f(x) = (\sqrt{5x+1})^4$ сначала упростим ее.
Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и то, что корень можно представить как степень $1/2$, получаем:
$f(x) = ((5x+1)^{1/2})^4 = (5x+1)^{4/2} = (5x+1)^2$.
Теперь задача сводится к нахождению производной функции $f(x) = (5x+1)^2$.
Это сложная функция, для дифференцирования которой мы используем цепное правило (производная сложной функции): $(u(v(x)))' = u'(v(x)) \cdot v'(x)$. В нашем случае, внешняя функция — это $u(v) = v^2$, а внутренняя — $v(x) = 5x+1$.
Формула производной степенной функции, совмещенная с цепным правилом, выглядит так: $(v^n)' = n \cdot v^{n-1} \cdot v'$.
Применим ее к нашей функции:
$f'(x) = 2 \cdot (5x+1)^{2-1} \cdot (5x+1)'$.
Найдем производную внутренней функции $(5x+1)'$:
$(5x+1)' = (5x)' + (1)' = 5 \cdot 1 + 0 = 5$.
Подставим найденное значение обратно:
$f'(x) = 2 \cdot (5x+1) \cdot 5 = 10(5x+1)$.
Раскроем скобки для получения окончательного ответа:
$f'(x) = 10 \cdot 5x + 10 \cdot 1 = 50x + 10$.
Ответ: $f'(x) = 50x + 10$.

б) Дана функция $f(x) = \frac{1}{(7\sqrt{2x} + 8x)^3}$.
Для удобства дифференцирования представим ее в виде степени с отрицательным показателем:
$f(x) = (7\sqrt{2x} + 8x)^{-3}$.
Это сложная функция, и мы будем использовать цепное правило $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.
Здесь $n = -3$, а внутренняя функция $u(x) = 7\sqrt{2x} + 8x$.
Сначала найдем производную внутренней функции $u'(x)$:
$u'(x) = (7\sqrt{2x} + 8x)' = (7\sqrt{2x})' + (8x)'$.
Найдем производную каждого слагаемого по отдельности.
Производная второго слагаемого: $(8x)' = 8$.
Для нахождения производной первого слагаемого $7\sqrt{2x}$ представим корень в виде степени и снова используем цепное правило:
$(7\sqrt{2x})' = (7(2x)^{1/2})' = 7 \cdot \frac{1}{2}(2x)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (2x)' = 7 \cdot \frac{1}{2}(2x)^{-1/2} \cdot 2$.
Сокращаем множители $2$ и $\frac{1}{2}$ и переписываем степень с отрицательным показателем в виде корня:
$(7\sqrt{2x})' = 7(2x)^{-1/2} = \frac{7}{\sqrt{2x}}$.
Таким образом, производная внутренней функции $u'(x)$ равна:
$u'(x) = \frac{7}{\sqrt{2x}} + 8$.
Теперь применим основное цепное правило к функции $f(x)$:
$f'(x) = -3 \cdot (7\sqrt{2x} + 8x)^{-3-1} \cdot u'(x)$.
Подставляем найденное $u'(x)$:
$f'(x) = -3(7\sqrt{2x} + 8x)^{-4} \cdot \left(\frac{7}{\sqrt{2x}} + 8\right)$.
Запишем результат в виде дроби для большей наглядности:
$f'(x) = -\frac{3\left(\frac{7}{\sqrt{2x}} + 8\right)}{(7\sqrt{2x} + 8x)^4}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{3\left(\frac{7}{\sqrt{2x}} + 8\right)}{(7\sqrt{2x} + 8x)^4}$.