Номер 21, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

21. (2) a) $y=\cos^2x;$

б) $y=\frac{7}{\sin^7 x};$

В) $y=\cos^3x\sin^2x;$

Г) $y=\frac{1}{\sin^2 x};$

Д) $y=\text{tg}^2x \cdot \text{ctg}^2x;$

е) $y=-\frac{1}{9}\sin^3 3x;$

Ж) $y=(x^2+5\sin x)^3.$

а) Для нахождения производной функции $y = \cos^2 x$ используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).
Пусть внутренняя функция $u = \cos x$, тогда внешняя функция $y = u^2$.
Производная сложной функции находится как произведение производной внешней функции по внутренней и производной внутренней функции: $y' = (u^2)' \cdot u' = 2u \cdot (\cos x)'$.
Подставляем $u = \cos x$ и находим производную от $\cos x$:
$y' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x$.
Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, упрощаем выражение:
$y' = -\sin(2x)$.
Ответ: $y' = -\sin(2x)$.

б) Функцию $y = \frac{7}{\sin^7 x}$ можно переписать в виде $y = 7(\sin x)^{-7}$.
Это сложная функция. Применяем цепное правило, где $u = \sin x$ и $y = 7u^{-7}$.
$y' = (7u^{-7})' \cdot u' = 7 \cdot (-7)u^{-8} \cdot (\sin x)'$.
$y' = -49u^{-8} \cdot \cos x$.
Подставляем обратно $u = \sin x$:
$y' = -49(\sin x)^{-8} \cdot \cos x = -\frac{49\cos x}{\sin^8 x}$.
Ответ: $y' = -\frac{49\cos x}{\sin^8 x}$.

в) Для функции $y = \cos^3 x \sin^2 x$ используем правило дифференцирования произведения $(f \cdot g)' = f'g + fg'$.
Пусть $f(x) = \cos^3 x$ и $g(x) = \sin^2 x$.
Найдём производные $f'(x)$ и $g'(x)$ с помощью цепного правила:
$f'(x) = (\cos^3 x)' = 3\cos^2 x \cdot (\cos x)' = 3\cos^2 x \cdot (-\sin x) = -3\cos^2 x \sin x$.
$g'(x) = (\sin^2 x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' = 2\sin x \cos x$.
Теперь подставляем найденные производные в формулу произведения:
$y' = (-3\cos^2 x \sin x) \cdot (\sin^2 x) + (\cos^3 x) \cdot (2\sin x \cos x)$.
$y' = -3\cos^2 x \sin^3 x + 2\cos^4 x \sin x$.
Вынесем общий множитель $\sin x \cos^2 x$ за скобки для упрощения:
$y' = \sin x \cos^2 x (-3\sin^2 x + 2\cos^2 x)$.
Ответ: $y' = \sin x \cos^2 x (2\cos^2 x - 3\sin^2 x)$.

г) Функцию $y = \frac{1}{\sin^2 x}$ запишем как $y = (\sin x)^{-2}$.
Применяем цепное правило для $u = \sin x$ и $y = u^{-2}$.
$y' = (u^{-2})' \cdot u' = -2u^{-3} \cdot (\sin x)'$.
$y' = -2(\sin x)^{-3} \cdot \cos x$.
$y' = -\frac{2\cos x}{\sin^3 x}$.
Ответ: $y' = -\frac{2\cos x}{\sin^3 x}$.

д) Упростим функцию $y = \tg^2 x \cdot \ctg^2 x$ перед нахождением производной.
Так как $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$, то $\tg x \cdot \ctg x = 1$ (для всех $x$, где обе функции определены).
Следовательно, $y = (\tg x \cdot \ctg x)^2 = 1^2 = 1$.
Функция является константой на всей своей области определения.
Производная от константы равна нулю.
$y' = (1)' = 0$.
Ответ: $y' = 0$.

е) Для функции $y = -\frac{1}{9}\sin^3(3x)$ применяем цепное правило несколько раз.
$y' = -\frac{1}{9} \cdot (\sin^3(3x))'$.
Сначала дифференцируем степенную функцию:
$y' = -\frac{1}{9} \cdot 3\sin^2(3x) \cdot (\sin(3x))'$.
$y' = -\frac{1}{3}\sin^2(3x) \cdot (\sin(3x))'$.
Затем дифференцируем синус:
$y' = -\frac{1}{3}\sin^2(3x) \cdot \cos(3x) \cdot (3x)'$.
И наконец, производную аргумента:
$y' = -\frac{1}{3}\sin^2(3x) \cdot \cos(3x) \cdot 3$.
$y' = -\sin^2(3x)\cos(3x)$.
Ответ: $y' = -\sin^2(3x)\cos(3x)$.

ж) Для функции $y = (x^2 + 5\sin x)^3$ используем цепное правило.
Пусть $u = x^2 + 5\sin x$, тогда $y = u^3$.
$y' = (u^3)' \cdot u' = 3u^2 \cdot (x^2 + 5\sin x)'$.
Находим производную $u'$:
$(x^2 + 5\sin x)' = (x^2)' + (5\sin x)' = 2x + 5\cos x$.
Подставляем все вместе:
$y' = 3(x^2 + 5\sin x)^2 \cdot (2x + 5\cos x)$.
Ответ: $y' = 3(2x + 5\cos x)(x^2 + 5\sin x)^2$.