Номер 18, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

18. (3) Вычислите значения производной функции $f(x)$ в точке $x_0$:

a) $f(x)=x^4(2\sqrt{x}+3x)^4$, $x_0=1;$

б) $f(x)=(x^2-8x+16)^2(\frac{2}{3}x\sqrt{x}+2\sqrt{x})^3$, $x_0=4.$

а) Дана функция $f(x) = x^4(2\sqrt{x} + 3x)^4$ и точка $x_0 = 1$.
Для нахождения производной сначала упростим выражение для функции, используя свойство степеней $(ab)^n = a^n b^n$:
$f(x) = [x(2\sqrt{x} + 3x)]^4 = (2x\sqrt{x} + 3x^2)^4$.
Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$, тогда $x\sqrt{x} = x \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$.
Функция примет вид: $f(x) = (2x^{3/2} + 3x^2)^4$.
Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$, где $u(x) = 2x^{3/2} + 3x^2$ и $n=4$.
$f'(x) = 4(2x^{3/2} + 3x^2)^{3} \cdot (2x^{3/2} + 3x^2)'$.
Найдем производную внутренней функции:
$(2x^{3/2} + 3x^2)' = 2 \cdot \frac{3}{2}x^{3/2 - 1} + 3 \cdot 2x^{2-1} = 3x^{1/2} + 6x = 3\sqrt{x} + 6x$.
Подставим это обратно в выражение для $f'(x)$:
$f'(x) = 4(2x^{3/2} + 3x^2)^3 (3\sqrt{x} + 6x)$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = 4(2 \cdot 1^{3/2} + 3 \cdot 1^2)^3 (3\sqrt{1} + 6 \cdot 1)$.
$f'(1) = 4(2 \cdot 1 + 3 \cdot 1)^3 (3 \cdot 1 + 6)$.
$f'(1) = 4(2 + 3)^3 (3 + 6)$.
$f'(1) = 4 \cdot 5^3 \cdot 9$.
$f'(1) = 4 \cdot 125 \cdot 9 = 500 \cdot 9 = 4500$.
Ответ: $4500$.

б) Дана функция $f(x) = (x^2 - 8x + 16)^2 (\frac{2}{3}x\sqrt{x} + 2\sqrt{x})^3$ и точка $x_0 = 4$.
Упростим первый множитель в выражении для функции. Заметим, что $x^2 - 8x + 16$ является полным квадратом:
$x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2$.
Тогда функция $f(x)$ принимает вид:
$f(x) = ((x-4)^2)^2 \left(\frac{2}{3}x\sqrt{x} + 2\sqrt{x}\right)^3 = (x-4)^4 \left(\frac{2}{3}x\sqrt{x} + 2\sqrt{x}\right)^3$.
Для нахождения производной $f'(x)$ используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = (x-4)^4$ и $v(x) = \left(\frac{2}{3}x\sqrt{x} + 2\sqrt{x}\right)^3$.
Найдем производную $u'(x)$:
$u'(x) = 4(x-4)^3 \cdot (x-4)' = 4(x-4)^3$.
Теперь вычислим значения $u(x)$ и $u'(x)$ в точке $x_0 = 4$:
$u(4) = (4-4)^4 = 0^4 = 0$.
$u'(4) = 4(4-4)^3 = 4 \cdot 0^3 = 0$.
Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0 = 4$ равно:
$f'(4) = u'(4)v(4) + u(4)v'(4)$.
Подставляем найденные значения:
$f'(4) = 0 \cdot v(4) + 0 \cdot v'(4)$.
Чтобы это выражение было равно нулю, необходимо убедиться, что значения $v(4)$ и $v'(4)$ конечны.
Вычислим $v(4)$:
$v(4) = \left(\frac{2}{3}(4)\sqrt{4} + 2\sqrt{4}\right)^3 = \left(\frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 2 + 2 \cdot 2\right)^3 = \left(\frac{16}{3} + 4\right)^3 = \left(\frac{16+12}{3}\right)^3 = \left(\frac{28}{3}\right)^3$.
Это конечное число. Производная $v'(x)$ также будет конечной в точке $x=4$, так как она представляет собой комбинацию степенных функций, которые определены и конечны при $x=4$.
Таким образом, $f'(4) = 0 \cdot \left(\frac{28}{3}\right)^3 + 0 \cdot v'(4) = 0 + 0 = 0$.
Ответ: $0$.