Номер 20, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

20. (2)

a) $y = 2 \sin x \cos x;$

б) $y = x^2 + \cos 2x \sin 8x.$

а) Найдём производную функции $y = 2\sin{x}\cos{x}$.

Для нахождения производной сначала упростим данную функцию. Воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла: $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$.

Применив эту формулу к нашей функции, получаем: $y = \sin{2x}$.

Теперь найдём производную этой функции. Это сложная функция, поэтому для её дифференцирования необходимо применить правило производной сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция — это синус, а внутренняя — $2x$.

Производная внешней функции: $(\sin{u})' = \cos{u}$.

Производная внутренней функции: $(2x)' = 2$.

Таким образом, производная исходной функции равна:

$y' = (\sin{2x})' = \cos{2x} \cdot (2x)' = \cos{2x} \cdot 2 = 2\cos{2x}$.

Ответ: $y' = 2\cos{2x}$.

б) Найдём производную функции $y = x^2 + \cos{2x}\sin{3x}$.

Данная функция представляет собой сумму двух слагаемых. Производная суммы равна сумме производных: $(u+v)' = u' + v'$.

Следовательно, $y' = (x^2)' + (\cos{2x}\sin{3x})'$.

1. Найдём производную первого слагаемого:

$(x^2)' = 2x$.

2. Найдём производную второго слагаемого, которое является произведением двух функций: $\cos{2x}$ и $\sin{3x}$. Используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = \cos{2x}$ и $v = \sin{3x}$.

Найдём производные $u'$ и $v'$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$u' = (\cos{2x})' = -\sin{2x} \cdot (2x)' = -2\sin{2x}$.

$v' = (\sin{3x})' = \cos{3x} \cdot (3x)' = 3\cos{3x}$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения:

$(\cos{2x}\sin{3x})' = u'v + uv' = (-2\sin{2x})(\sin{3x}) + (\cos{2x})(3\cos{3x}) = -2\sin{2x}\sin{3x} + 3\cos{2x}\cos{3x}$.

3. Сложим производные обоих слагаемых, чтобы найти производную исходной функции:

$y' = 2x - 2\sin{2x}\sin{3x} + 3\cos{2x}\cos{3x}$.

Ответ: $y' = 2x + 3\cos{2x}\cos{3x} - 2\sin{2x}\sin{3x}$.