Номер 23, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

23. (3)

a) $f(x)=\sin \sin x;$

б) $f(x)=\cos (\sin x);$

в) $f(x)=\tan \sqrt{\tan 2x};$

г) $f(x)=\cos (\cos x)\sin (\sin x).$

а) Для функции $f(x) = \sin(\sin x)$

Это сложная функция, поэтому для нахождения производной мы используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), которое гласит: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $g(u) = \sin u$, а внутренняя функция $h(x) = \sin x$.

Находим производные этих функций:

Производная внешней функции: $g'(u) = (\sin u)' = \cos u$.

Производная внутренней функции: $h'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Теперь подставляем $u = h(x) = \sin x$ в производную внешней функции, получая $g'(h(x)) = \cos(\sin x)$.

Наконец, перемножаем производные, чтобы найти итоговую производную:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = \cos(\sin x) \cdot \cos x$.

Ответ: $f'(x) = \cos(\sin x) \cos x$

б) Для функции $f(x) = \cos(\sin x)$

Эта функция также является сложной. Применяем цепное правило, как и в предыдущем пункте.

Здесь внешняя функция $g(u) = \cos u$, а внутренняя функция $h(x) = \sin x$.

Находим производные:

Производная внешней функции: $g'(u) = (\cos u)' = -\sin u$.

Производная внутренней функции: $h'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Подставляем $u = h(x) = \sin x$ в производную внешней функции: $g'(h(x)) = -\sin(\sin x)$.

Перемножаем производные:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = -\sin(\sin x) \cdot \cos x$.

Ответ: $f'(x) = -\sin(\sin x) \cos x$

в) Для функции $f(x) = \tan(\sqrt{\tan(2x)})$ (в исходном задании используется обозначение tg)

Это многократно вложенная сложная функция. Для нахождения ее производной применим цепное правило последовательно для каждой вложенной функции.

Представим функцию в виде цепочки: $y = \tan(u)$, где $u = \sqrt{v}$, где $v = \tan(w)$, где $w = 2x$.

Производная $y$ по $x$ будет произведением производных по цепочке: $f'(x) = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dw} \cdot \frac{dw}{dx}$.

1. Производная самой внутренней функции: $\frac{dw}{dx} = (2x)' = 2$.

2. Производная функции $v = \tan(w)$: $\frac{dv}{dw} = (\tan w)' = \sec^2 w = \frac{1}{\cos^2 w} = \frac{1}{\cos^2(2x)}$.

3. Производная функции $u = \sqrt{v}$: $\frac{du}{dv} = (\sqrt{v})' = \frac{1}{2\sqrt{v}} = \frac{1}{2\sqrt{\tan(2x)}}$.

4. Производная внешней функции $y = \tan(u)$: $\frac{dy}{du} = (\tan u)' = \sec^2 u = \frac{1}{\cos^2 u} = \frac{1}{\cos^2(\sqrt{\tan(2x)})}$.

Теперь перемножим все полученные производные:

$f'(x) = \frac{1}{\cos^2(\sqrt{\tan(2x)})} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\tan(2x)}} \cdot \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot 2$.

Сократив 2 в числителе и знаменателе, получаем окончательный результат:

$f'(x) = \frac{1}{\cos^2(\sqrt{\tan(2x)}) \sqrt{\tan(2x)} \cos^2(2x)}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{\cos^2(\sqrt{\tan(2x)}) \sqrt{\tan(2x)} \cos^2(2x)}$

г) Для функции $f(x) = \cos(\cos x)\sin(\sin x)$

Эта функция является произведением двух сложных функций. Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = \cos(\cos x)$ и $v(x) = \sin(\sin x)$.

Сначала найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$, используя цепное правило.

Для $u(x) = \cos(\cos x)$:

$u'(x) = (\cos(\cos x))' = -\sin(\cos x) \cdot (\cos x)' = -\sin(\cos x) \cdot (-\sin x) = \sin x \sin(\cos x)$.

Для $v(x) = \sin(\sin x)$ (эта производная уже найдена в пункте а):

$v'(x) = (\sin(\sin x))' = \cos(\sin x) \cdot (\sin x)' = \cos x \cos(\sin x)$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения:

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

$f'(x) = (\sin x \sin(\cos x)) \cdot (\sin(\sin x)) + (\cos(\cos x)) \cdot (\cos x \cos(\sin x))$.

Для удобства чтения сгруппируем множители:

$f'(x) = \sin x \sin(\cos x) \sin(\sin x) + \cos x \cos(\cos x) \cos(\sin x)$.

Ответ: $f'(x) = \sin x \sin(\cos x) \sin(\sin x) + \cos x \cos(\cos x) \cos(\sin x)$