Номер 29, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

29. (3) Решите неравенство $f'(x) < g'(x)$, если $f(x) = \frac{1}{2x^2+1}$, $g(x) = \frac{2x}{2x^2+1}$.

Для решения неравенства $f'(x) < g'(x)$ сначала необходимо найти производные заданных функций $f(x) = \frac{1}{2x^2+1}$ и $g(x) = \frac{2x}{2x^2+1}$.

1. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования дроби $(\frac{1}{u})' = -\frac{u'}{u^2}$. В нашем случае $u = 2x^2+1$, тогда $u' = 4x$.

$f'(x) = -\frac{(2x^2+1)'}{(2x^2+1)^2} = -\frac{4x}{(2x^2+1)^2}$

2. Найдем производную функции $g(x)$. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Здесь $u=2x$ и $v=2x^2+1$. Их производные равны $u'=2$ и $v'=4x$.

$g'(x) = \frac{2(2x^2+1) - 2x(4x)}{(2x^2+1)^2} = \frac{4x^2+2 - 8x^2}{(2x^2+1)^2} = \frac{2-4x^2}{(2x^2+1)^2}$

3. Теперь составим и решим неравенство $f'(x) < g'(x)$:

$-\frac{4x}{(2x^2+1)^2} < \frac{2-4x^2}{(2x^2+1)^2}$

Знаменатель $(2x^2+1)^2$ всегда строго положителен для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0 \Rightarrow 2x^2+1 \ge 1$. Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $(2x^2+1)^2$, при этом знак неравенства не изменится:

$-4x < 2-4x^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$4x^2 - 4x - 2 < 0$

Для упрощения разделим обе части неравенства на 2:

$2x^2 - 2x - 1 < 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 - 2x - 1 = 0$. Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12$.

Корни уравнения равны:

$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Таким образом, корни $x_1 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$.

Парабола $y = 2x^2 - 2x - 1$ имеет ветви, направленные вверх (поскольку коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля), поэтому она принимает отрицательные значения между своими корнями.

Следовательно, решение неравенства $2x^2 - 2x - 1 < 0$ есть интервал $(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, \frac{1 + \sqrt{3}}{2})$.

Ответ: $x \in (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}; \frac{1 + \sqrt{3}}{2})$.