Номер 34, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Вычислите производные следующих функций (34-35):

34. (2) а) $f(x)=x\sqrt{x}$;

б) $f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x}};

в) $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}$;

г) $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+5}$;

а) Для нахождения производной функции $f(x) = x\sqrt{x}$ сначала представим ее в виде степенной функции. Так как $\sqrt{x} = x^{1/2}$, то $f(x) = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1+1/2} = x^{3/2}$. Теперь воспользуемся формулой производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$. В нашем случае $n = 3/2$.

$f'(x) = (x^{3/2})' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{1/2}$

Возвращаясь к записи с корнем, получаем $f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

Ответ: $\frac{3}{2}\sqrt{x}$.

б) Для функции $f(x) = \frac{x+1}{\sqrt{x}}$ удобно сначала упростить выражение, разделив числитель на знаменатель почленно:

$f(x) = \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{x}{x^{1/2}} + \frac{1}{x^{1/2}} = x^{1-1/2} + x^{-1/2} = x^{1/2} + x^{-1/2}$

Теперь найдем производную как сумму производных, используя правило $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^{1/2})' + (x^{-1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} + (-\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} - \frac{1}{2}x^{-3/2}$

Представим результат в виде дроби с корнями и приведем к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{x}{2x\sqrt{x}} - \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}$

Ответ: $\frac{x-1}{2x\sqrt{x}}$.

в) Функцию $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$ можно упростить, представив ее в виде степени. Так как $\sqrt{x} = x^{1/2}$, то:

$f(x) = \frac{x^{1/2}}{x^1} = x^{1/2 - 1} = x^{-1/2}$

Теперь найдем производную по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^{-1/2})' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}x^{-3/2}$

Запишем ответ в виде дроби с радикалом:

$f'(x) = -\frac{1}{2x^{3/2}} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$

Ответ: $-\frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

г) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+5}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. В нашем случае $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = x+5$. Найдем их производные:

$u'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v'(x) = (x+5)' = 1$

Подставим все в формулу:

$f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot (x+5) - \sqrt{x} \cdot 1}{(x+5)^2}$

Упростим числитель, приведя к общему знаменателю $2\sqrt{x}$:

$f'(x) = \frac{\frac{x+5 - \sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}}{(x+5)^2} = \frac{\frac{x+5 - 2x}{2\sqrt{x}}}{(x+5)^2} = \frac{5-x}{2\sqrt{x}(x+5)^2}$

Ответ: $\frac{5-x}{2\sqrt{x}(x+5)^2}$.