Номер 36, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

36. (3) Найдите все значения $x$, при каждом из которых производная функции: $y=5+8\cos\left(2x+\frac{\pi}{7}\right)$ равна $8\sqrt{3}$.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых производная функции равна заданному числу, сначала необходимо найти саму производную. Дана функция: $y = 5 + 8\cos(2x + \frac{\pi}{7})$.

Найдем ее производную $y'$, используя правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$, а также производные $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$ и $(C)' = 0$.

$y' = (5 + 8\cos(2x + \frac{\pi}{7}))' = (5)' + (8\cos(2x + \frac{\pi}{7}))' = 0 + 8 \cdot (-\sin(2x + \frac{\pi}{7})) \cdot (2x + \frac{\pi}{7})'$.

Производная внутреннего выражения $(2x + \frac{\pi}{7})'$ равна $2$. Таким образом, производная исходной функции:

$y' = -8\sin(2x + \frac{\pi}{7}) \cdot 2 = -16\sin(2x + \frac{\pi}{7})$.

По условию задачи, производная равна $8\sqrt{3}$. Приравняем полученное выражение к этому значению:

$-16\sin(2x + \frac{\pi}{7}) = 8\sqrt{3}$.

Разделим обе части уравнения на -16:

$\sin(2x + \frac{\pi}{7}) = -\frac{8\sqrt{3}}{16} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь решим полученное тригонометрическое уравнение. Решение уравнения $\sin(\alpha) = a$ можно представить в виде двух серий. В нашем случае $\alpha = 2x + \frac{\pi}{7}$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$, получаем две серии решений.

Первая серия решений:

$2x + \frac{\pi}{7} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{7} + 2\pi n = -\frac{7\pi + 3\pi}{21} + 2\pi n = -\frac{10\pi}{21} + 2\pi n$.

$x = -\frac{5\pi}{21} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Вторая серия решений:

$2x + \frac{\pi}{7} = \pi - (-\frac{\pi}{3}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2x = \frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{7} + 2\pi k = \frac{28\pi - 3\pi}{21} + 2\pi k = \frac{25\pi}{21} + 2\pi k$.

$x = \frac{25\pi}{42} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{5\pi}{21} + \pi n$ и $x = \frac{25\pi}{42} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.