Номер 33, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

33. (2)
Найти те значения аргумента, при которых производная функции $y=\sqrt{x}+x$ принимает неотрицательные значения.

(2) Требуется найти значения аргумента $x$, при которых производная функции $y = \sqrt{x} + x$ принимает неотрицательные значения, то есть $y' \ge 0$.

1. Нахождение производной функции.
Сначала найдем производную данной функции. Функцию можно представить в виде $y = x^{1/2} + x$.
Используя правила дифференцирования суммы и степенной функции $((u+v)' = u' + v'$ и $(x^n)' = n \cdot x^{n-1})$, получаем:
$y' = (x^{1/2} + x)' = (x^{1/2})' + (x)' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} + 1 = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + 1$.
Преобразуем выражение:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 1$.

2. Определение области определения производной.
Производная $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 1$ определена, когда подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля (так как корень находится в знаменателе, он не может быть равен нулю, и подкоренное выражение не может быть отрицательным).
Следовательно, $x > 0$.
Область определения производной $D(y') = (0, +\infty)$.

3. Решение неравенства.
Теперь необходимо решить неравенство $y' \ge 0$ на области определения производной.
$\frac{1}{2\sqrt{x}} + 1 \ge 0$.
Рассмотрим это неравенство для $x \in (0, +\infty)$.
При любом $x > 0$, значение $\sqrt{x}$ является положительным числом.
Следовательно, дробь $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ также всегда будет положительной.
Сумма двух положительных чисел ($\frac{1}{2\sqrt{x}}$ и $1$) всегда является положительным числом.
Таким образом, выражение $\frac{1}{2\sqrt{x}} + 1$ всегда больше нуля для всех $x$ из области определения производной.
Это означает, что неравенство $y' \ge 0$ выполняется для всех $x$, при которых производная существует.

4. Формулировка ответа.
Производная функции принимает неотрицательные (в данном случае — строго положительные) значения на всей своей области определения, то есть при $x > 0$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.