Номер 31, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

31. (3)Решите систему неравенств $\begin{cases} f'(x) \le 0, \\ g'(x) \le 0, \end{cases}$

если $g(x)=\frac{1}{3}x^3+3x^2+8x$, $f(x)=\frac{1}{3}x^3+3x^2+9x$.

Для решения системы неравенств необходимо найти производные функций $f(x)$ и $g(x)$, а затем решить каждое неравенство по отдельности и найти пересечение их решений.

1. Решение неравенства $f'(x) \le 0$

Сначала найдем производную функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 9x$.

Используя правила дифференцирования, получаем:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 9x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{2} + 3 \cdot 2x + 9 = x^2 + 6x + 9$.

Теперь решим неравенство $x^2 + 6x + 9 \le 0$.

Левая часть неравенства представляет собой формулу квадрата суммы (полный квадрат):

$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$.

Таким образом, неравенство принимает вид $(x+3)^2 \le 0$.

Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x+3)^2 \ge 0$, данное неравенство может выполняться только в одном случае — когда выражение равно нулю:

$(x+3)^2 = 0$.

Отсюда следует, что $x+3 = 0$, то есть $x = -3$.

Решением первого неравенства является единственное значение $x = -3$.

2. Решение неравенства $g'(x) \le 0$

Теперь найдем производную функции $g(x) = \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 8x$.

$g'(x) = (\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 8x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 3 \cdot 2x + 8 = x^2 + 6x + 8$.

Решим полученное квадратное неравенство $x^2 + 6x + 8 \le 0$.

Для этого сначала найдем корни уравнения $x^2 + 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-6$, а их произведение равно $8$. Корнями являются $x_1 = -4$ и $x_2 = -2$.

Таким образом, мы можем разложить квадратный трехчлен на множители: $(x+4)(x+2) \le 0$.

Графиком функции $y = x^2 + 6x + 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции будут меньше или равны нулю на промежутке между корнями (включая сами корни).

Решением второго неравенства является отрезок $x \in [-4; -2]$.

3. Нахождение решения системы

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств. Мы ищем значения $x$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям:

$x = -3$ (из первого неравенства) и $x \in [-4; -2]$ (из второго неравенства).

Необходимо проверить, принадлежит ли значение $x = -3$ отрезку $[-4; -2]$.

Поскольку неравенство $-4 \le -3 \le -2$ является верным, точка $x = -3$ принадлежит данному отрезку.

Следовательно, пересечение этих двух решений состоит из одного числа $x = -3$.

Ответ: $x = -3$.