Номер 30, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

30. (В)

Решите неравенство $\frac{f'(x)}{g(x)} < 0$, если $f(x) = 5x^3 - 25x^2$, $g(x) = 3x^3 + 9x^2$.

Для решения неравенства $\frac{f'(x)}{g(x)} < 0$ сначала найдем производную функции $f(x)$.

Дана функция $f(x) = 5x^3 - 25x^2$.

Ее производная $f'(x)$ вычисляется по правилам дифференцирования степенной функции:

$f'(x) = (5x^3)' - (25x^2)' = 5 \cdot 3x^{3-1} - 25 \cdot 2x^{2-1} = 15x^2 - 50x$.

Теперь подставим выражения для $f'(x)$ и $g(x) = 3x^3 + 9x^2$ в исходное неравенство:

$\frac{15x^2 - 50x}{3x^3 + 9x^2} < 0$.

Для решения этого рационального неравенства разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: $15x^2 - 50x = 5x(3x - 10)$.

Знаменатель: $3x^3 + 9x^2 = 3x^2(x + 3)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{5x(3x - 10)}{3x^2(x + 3)} < 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:

$3x^2(x + 3) \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $x \neq -3$.

При $x \neq 0$ можно сократить дробь на $x$:

$\frac{5(3x - 10)}{3x(x + 3)} < 0$.

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $3x - 10 = 0 \implies x = \frac{10}{3}$.

Нули знаменателя: $x = 0$ и $x = -3$.

Отметим эти точки на числовой оси. Все точки будут выколотыми, так как неравенство строгое, а знаменатель не может быть равен нулю. Точки $-3$, $0$, $\frac{10}{3}$ разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, 0)$, $(0, \frac{10}{3})$, $(\frac{10}{3}, +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{5(3x - 10)}{3x(x + 3)}$ в каждом интервале:

1. При $x \in (\frac{10}{3}, +\infty)$, например $x=4$: $\frac{5(3 \cdot 4 - 10)}{3 \cdot 4(4 + 3)} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 7} > 0$. Знак «+».

2. При $x \in (0, \frac{10}{3})$, например $x=1$: $\frac{5(3 \cdot 1 - 10)}{3 \cdot 1(1 + 3)} = \frac{5 \cdot (-7)}{3 \cdot 4} < 0$. Знак «−».

3. При $x \in (-3, 0)$, например $x=-1$: $\frac{5(3 \cdot (-1) - 10)}{3 \cdot (-1)(-1 + 3)} = \frac{5 \cdot (-13)}{(-3) \cdot 2} > 0$. Знак «+».

4. При $x \in (-\infty, -3)$, например $x=-4$: $\frac{5(3 \cdot (-4) - 10)}{3 \cdot (-4)(-4 + 3)} = \frac{5 \cdot (-22)}{(-12) \cdot (-1)} < 0$. Знак «−».

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак «−»). Это интервалы $(-\infty, -3)$ и $(0, \frac{10}{3})$.

Объединяя эти интервалы, получаем решение неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (0, \frac{10}{3})$.