Номер 35, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

35. (3) a) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{5x - x^2}}$

B) $f(x) = x^3 \left( \frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x \right)^3$

6) $f(x) = x^2 \left( \frac{2}{3}\sqrt{x} - 7 \right)^2$

а) Для того чтобы найти производную функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{5x - x^2}}$, представим её в виде степени:

$f(x) = (5x - x^2)^{-1/2}$

Теперь воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$. В нашем случае, $u(x) = 5x - x^2$ и $n = -1/2$.

Найдём производную внутренней функции $u'(x)$:

$u'(x) = (5x - x^2)' = 5 - 2x$

Теперь найдём производную исходной функции:

$f'(x) = -\frac{1}{2}(5x - x^2)^{-1/2 - 1} \cdot (5 - 2x)$

$f'(x) = -\frac{1}{2}(5x - x^2)^{-3/2} \cdot (5 - 2x)$

Упростим полученное выражение:

$f'(x) = \frac{-(5 - 2x)}{2(5x - x^2)^{3/2}} = \frac{2x - 5}{2\sqrt{(5x - x^2)^3}}$

Выражение можно также записать в виде:

$f'(x) = \frac{2x - 5}{2(5x - x^2)\sqrt{5x - x^2}}$

Ответ: $f'(x) = \frac{2x - 5}{2(5x - x^2)\sqrt{5x - x^2}}$.

б) Дана функция $f(x) = x^2\left(\frac{2}{3}\sqrt{x} - 7\right)^2$. Для нахождения её производной сначала упростим выражение, раскрыв скобки.

$f(x) = x^2\left(\left(\frac{2}{3}\sqrt{x}\right)^2 - 2 \cdot \frac{2}{3}\sqrt{x} \cdot 7 + 7^2\right)$

$f(x) = x^2\left(\frac{4}{9}x - \frac{28}{3}\sqrt{x} + 49\right)$

Перемножим $x^2$ с каждым членом в скобках. Учтём, что $\sqrt{x} = x^{1/2}$.

$f(x) = \frac{4}{9}x^3 - \frac{28}{3}x^2 \cdot x^{1/2} + 49x^2 = \frac{4}{9}x^3 - \frac{28}{3}x^{5/2} + 49x^2$

Теперь найдём производную полученной функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$:

$f'(x) = \left(\frac{4}{9}x^3\right)' - \left(\frac{28}{3}x^{5/2}\right)' + (49x^2)'$

$f'(x) = \frac{4}{9} \cdot 3x^2 - \frac{28}{3} \cdot \frac{5}{2}x^{5/2 - 1} + 49 \cdot 2x$

$f'(x) = \frac{4}{3}x^2 - \frac{140}{6}x^{3/2} + 98x$

Упростим коэффициент при $x^{3/2}$:

$f'(x) = \frac{4}{3}x^2 - \frac{70}{3}x^{3/2} + 98x$

Ответ: $f'(x) = \frac{4}{3}x^2 - \frac{70}{3}x^{3/2} + 98x$.

в) Дана функция $f(x) = x^3\left(\frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x\right)^3$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правило дифференцирования сложной функции.

Пусть $u(x) = x^3$ и $v(x) = \left(\frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x\right)^3$.

Найдём производную $u'(x)$:

$u'(x) = (x^3)' = 3x^2$

Найдём производную $v'(x)$, используя правило для сложной функции. Производная внешней функции $(g^3)' = 3g^2 \cdot g'$.

$v'(x) = 3\left(\frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x\right)'$

Найдём производную внутренней функции:

$\left(\frac{2}{3}x^{1/2} - 13x\right)' = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - 13 = \frac{1}{3\sqrt{x}} - 13$

Подставим её обратно в $v'(x)$:

$v'(x) = 3\left(\frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x\right)^2 \left(\frac{1}{3\sqrt{x}} - 13\right)$

Теперь применим формулу производной произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = 3x^2\left(\frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x\right)^3 + x^3 \cdot 3\left(\frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x\right)^2 \left(\frac{1}{3\sqrt{x}} - 13\right)$

Вынесем общий множитель $3x^2\left(\frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x\right)^2$ за скобки:

$f'(x) = 3x^2\left(\frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x\right)^2 \left[ \left(\frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x\right) + x\left(\frac{1}{3\sqrt{x}} - 13\right) \right]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$\frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x + \frac{x}{3\sqrt{x}} - 13x = \frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x + \frac{\sqrt{x}}{3} - 13x = \left(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right)\sqrt{x} - 26x = \sqrt{x} - 26x$

Подставим упрощенное выражение обратно в $f'(x)$:

$f'(x) = 3x^2\left(\frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x\right)^2 (\sqrt{x} - 26x)$

Ответ: $f'(x) = 3x^2\left(\frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x\right)^2 (\sqrt{x} - 26x)$.