Страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение 3

Доказать свойство 2) для случая убывающих функций.

Поскольку "свойство 2" не уточнено, будем доказывать одно из стандартных свойств, касающихся монотонных функций, которое часто рассматривается в учебных курсах. Вероятнее всего, речь идет о свойстве композиции функций, так как результат для убывающих функций отличается от результата для возрастающих.

Формулировка свойства: Если функция $y = f(x)$ является убывающей на промежутке $X$, и функция $z = g(y)$ является убывающей на промежутке $Y$, который содержит область значений функции $f$, то их композиция $h(x) = g(f(x))$ является возрастающей функцией на промежутке $X$.

Доказательство:

Нам нужно доказать, что функция $h(x) = g(f(x))$ является возрастающей. Вспомним определения:

• Функция $f(x)$ называется убывающей на промежутке $X$, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.
• Функция $h(x)$ называется возрастающей на промежутке $X$, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $h(x_1) < h(x_2)$.

Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из промежутка $X$ такие, что $x_1 < x_2$.

Поскольку функция $f(x)$ по условию является убывающей, то из неравенства $x_1 < x_2$ следует, что $f(x_1) > f(x_2)$.

Обозначим значения функции $f$ как $y_1 = f(x_1)$ и $y_2 = f(x_2)$. Эти значения принадлежат промежутку $Y$. Тогда неравенство $f(x_1) > f(x_2)$ можно переписать как $y_1 > y_2$.

Теперь рассмотрим функцию $g(y)$, которая по условию также является убывающей. Применим ее к значениям $y_1$ и $y_2$. Так как $g(y)$ убывает и $y_2 < y_1$, то по определению убывающей функции должно выполняться неравенство $g(y_2) > g(y_1)$, что эквивалентно $g(y_1) < g(y_2)$.

Подставим обратно исходные выражения через $x$:
$g(f(x_1)) < g(f(x_2))$.

Так как $h(x) = g(f(x))$, мы получили, что $h(x_1) < h(x_2)$.

Таким образом, мы показали, что для любых $x_1$ и $x_2$ из промежутка $X$, если $x_1 < x_2$, то $h(x_1) < h(x_2)$. Это по определению означает, что функция $h(x) = g(f(x))$ является возрастающей на промежутке $X$. Доказательство завершено.

Ответ: Свойство доказано. Композиция двух убывающих функций является возрастающей функцией. Для любых $x_1, x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$ (так как $f$ убывает). Обозначим $y_1 = f(x_1)$ и $y_2 = f(x_2)$, тогда $y_1 > y_2$. Так как $g$ убывает, то из $y_2 < y_1$ следует $g(y_2) > g(y_1)$, то есть $g(f(x_2)) > g(f(x_1))$. Это означает, что $h(x_1) < h(x_2)$, следовательно, функция $h(x) = g(f(x))$ является возрастающей.

35. (3) a) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{5x - x^2}}$

B) $f(x) = x^3 \left( \frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x \right)^3$

6) $f(x) = x^2 \left( \frac{2}{3}\sqrt{x} - 7 \right)^2$

а) Для того чтобы найти производную функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{5x - x^2}}$, представим её в виде степени:

$f(x) = (5x - x^2)^{-1/2}$

Теперь воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$. В нашем случае, $u(x) = 5x - x^2$ и $n = -1/2$.

Найдём производную внутренней функции $u'(x)$:

$u'(x) = (5x - x^2)' = 5 - 2x$

Теперь найдём производную исходной функции:

$f'(x) = -\frac{1}{2}(5x - x^2)^{-1/2 - 1} \cdot (5 - 2x)$

$f'(x) = -\frac{1}{2}(5x - x^2)^{-3/2} \cdot (5 - 2x)$

Упростим полученное выражение:

$f'(x) = \frac{-(5 - 2x)}{2(5x - x^2)^{3/2}} = \frac{2x - 5}{2\sqrt{(5x - x^2)^3}}$

Выражение можно также записать в виде:

$f'(x) = \frac{2x - 5}{2(5x - x^2)\sqrt{5x - x^2}}$

Ответ: $f'(x) = \frac{2x - 5}{2(5x - x^2)\sqrt{5x - x^2}}$.

б) Дана функция $f(x) = x^2\left(\frac{2}{3}\sqrt{x} - 7\right)^2$. Для нахождения её производной сначала упростим выражение, раскрыв скобки.

$f(x) = x^2\left(\left(\frac{2}{3}\sqrt{x}\right)^2 - 2 \cdot \frac{2}{3}\sqrt{x} \cdot 7 + 7^2\right)$

$f(x) = x^2\left(\frac{4}{9}x - \frac{28}{3}\sqrt{x} + 49\right)$

Перемножим $x^2$ с каждым членом в скобках. Учтём, что $\sqrt{x} = x^{1/2}$.

$f(x) = \frac{4}{9}x^3 - \frac{28}{3}x^2 \cdot x^{1/2} + 49x^2 = \frac{4}{9}x^3 - \frac{28}{3}x^{5/2} + 49x^2$

Теперь найдём производную полученной функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$:

$f'(x) = \left(\frac{4}{9}x^3\right)' - \left(\frac{28}{3}x^{5/2}\right)' + (49x^2)'$

$f'(x) = \frac{4}{9} \cdot 3x^2 - \frac{28}{3} \cdot \frac{5}{2}x^{5/2 - 1} + 49 \cdot 2x$

$f'(x) = \frac{4}{3}x^2 - \frac{140}{6}x^{3/2} + 98x$

Упростим коэффициент при $x^{3/2}$:

$f'(x) = \frac{4}{3}x^2 - \frac{70}{3}x^{3/2} + 98x$

Ответ: $f'(x) = \frac{4}{3}x^2 - \frac{70}{3}x^{3/2} + 98x$.

в) Дана функция $f(x) = x^3\left(\frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x\right)^3$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правило дифференцирования сложной функции.

Пусть $u(x) = x^3$ и $v(x) = \left(\frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x\right)^3$.

Найдём производную $u'(x)$:

$u'(x) = (x^3)' = 3x^2$

Найдём производную $v'(x)$, используя правило для сложной функции. Производная внешней функции $(g^3)' = 3g^2 \cdot g'$.

$v'(x) = 3\left(\frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x\right)'$

Найдём производную внутренней функции:

$\left(\frac{2}{3}x^{1/2} - 13x\right)' = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - 13 = \frac{1}{3\sqrt{x}} - 13$

Подставим её обратно в $v'(x)$:

$v'(x) = 3\left(\frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x\right)^2 \left(\frac{1}{3\sqrt{x}} - 13\right)$

Теперь применим формулу производной произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = 3x^2\left(\frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x\right)^3 + x^3 \cdot 3\left(\frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x\right)^2 \left(\frac{1}{3\sqrt{x}} - 13\right)$

Вынесем общий множитель $3x^2\left(\frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x\right)^2$ за скобки:

$f'(x) = 3x^2\left(\frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x\right)^2 \left[ \left(\frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x\right) + x\left(\frac{1}{3\sqrt{x}} - 13\right) \right]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$\frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x + \frac{x}{3\sqrt{x}} - 13x = \frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x + \frac{\sqrt{x}}{3} - 13x = \left(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right)\sqrt{x} - 26x = \sqrt{x} - 26x$

Подставим упрощенное выражение обратно в $f'(x)$:

$f'(x) = 3x^2\left(\frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x\right)^2 (\sqrt{x} - 26x)$

Ответ: $f'(x) = 3x^2\left(\frac{2}{3}\sqrt{x} - 13x\right)^2 (\sqrt{x} - 26x)$.

36. (3) Найдите все значения $x$, при каждом из которых производная функции: $y=5+8\cos\left(2x+\frac{\pi}{7}\right)$ равна $8\sqrt{3}$.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых производная функции равна заданному числу, сначала необходимо найти саму производную. Дана функция: $y = 5 + 8\cos(2x + \frac{\pi}{7})$.

Найдем ее производную $y'$, используя правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$, а также производные $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$ и $(C)' = 0$.

$y' = (5 + 8\cos(2x + \frac{\pi}{7}))' = (5)' + (8\cos(2x + \frac{\pi}{7}))' = 0 + 8 \cdot (-\sin(2x + \frac{\pi}{7})) \cdot (2x + \frac{\pi}{7})'$.

Производная внутреннего выражения $(2x + \frac{\pi}{7})'$ равна $2$. Таким образом, производная исходной функции:

$y' = -8\sin(2x + \frac{\pi}{7}) \cdot 2 = -16\sin(2x + \frac{\pi}{7})$.

По условию задачи, производная равна $8\sqrt{3}$. Приравняем полученное выражение к этому значению:

$-16\sin(2x + \frac{\pi}{7}) = 8\sqrt{3}$.

Разделим обе части уравнения на -16:

$\sin(2x + \frac{\pi}{7}) = -\frac{8\sqrt{3}}{16} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь решим полученное тригонометрическое уравнение. Решение уравнения $\sin(\alpha) = a$ можно представить в виде двух серий. В нашем случае $\alpha = 2x + \frac{\pi}{7}$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$, получаем две серии решений.

Первая серия решений:

$2x + \frac{\pi}{7} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{7} + 2\pi n = -\frac{7\pi + 3\pi}{21} + 2\pi n = -\frac{10\pi}{21} + 2\pi n$.

$x = -\frac{5\pi}{21} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Вторая серия решений:

$2x + \frac{\pi}{7} = \pi - (-\frac{\pi}{3}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2x = \frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{7} + 2\pi k = \frac{28\pi - 3\pi}{21} + 2\pi k = \frac{25\pi}{21} + 2\pi k$.

$x = \frac{25\pi}{42} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{5\pi}{21} + \pi n$ и $x = \frac{25\pi}{42} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

37. (4) Задана последовательность функций $f_n(x), (n=0,1,2......)$, удовлетворяющая следующим условиям:

1) $f_0(x)=\cos x,$

2) $f_{n+1}(x)=f_n'(x)$ (каждая функция, кроме $f_0(x)$; равна производной предыдущей функции.)

Найдите:

a) $f_4(x)$;

б) $f_{10}(x)$;

В) $f_{2014}(x)$.

По условию задачи, задана последовательность функций $f_n(x)$, где $f_0(x) = \cos x$ и каждая последующая функция является производной от предыдущей: $f_{n+1}(x) = f_n'(x)$. Это означает, что $f_n(x)$ является $n$-ой производной функции $f_0(x)$.
Найдем первые несколько членов этой последовательности, чтобы выявить закономерность:
$f_0(x) = \cos x$
$f_1(x) = f_0'(x) = (\cos x)' = -\sin x$
$f_2(x) = f_1'(x) = (-\sin x)' = -\cos x$
$f_3(x) = f_2'(x) = (-\cos x)' = \sin x$
$f_4(x) = f_3'(x) = (\sin x)' = \cos x$
Мы видим, что $f_4(x) = \cos x = f_0(x)$. Это означает, что последовательность функций является циклической с периодом 4. Таким образом, для нахождения $f_n(x)$ достаточно найти остаток от деления индекса $n$ на 4. Если остаток равен $k$, то $f_n(x) = f_k(x)$.

а) $f_4(x)$;
Чтобы найти $f_4(x)$, найдем остаток от деления 4 на 4.
$4 \div 4 = 1$ с остатком 0.
Следовательно, $f_4(x) = f_0(x) = \cos x$. Это также следует из прямого вычисления, приведенного выше.
Ответ: $f_4(x) = \cos x$.

б) $f_{10}(x)$;
Чтобы найти $f_{10}(x)$, найдем остаток от деления 10 на 4.
$10 = 2 \cdot 4 + 2$. Остаток равен 2.
Следовательно, $f_{10}(x) = f_2(x)$.
Из нашей первоначальной последовательности мы знаем, что $f_2(x) = -\cos x$.
Ответ: $f_{10}(x) = -\cos x$.

в) $f_{2014}(x)$;
Чтобы найти $f_{2014}(x)$, найдем остаток от деления 2014 на 4.
$2014 = 503 \cdot 4 + 2$. Остаток равен 2.
Следовательно, $f_{2014}(x) = f_2(x)$.
Как и в предыдущем пункте, мы знаем, что $f_2(x) = -\cos x$.
Ответ: $f_{2014}(x) = -\cos x$.