Страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

9. (3) Пусть $g(x)$ - функция обратная к функции $f(x)$. Выразите через $g(x)$ функцию обратную к функции $f(ax+b)(a \ne 0)$.

По условию, функция $g(x)$ является обратной к функции $f(x)$. Это означает, что для любого $z$ из соответствующей области определения выполняется тождество $g(f(z)) = z$.

Нам необходимо найти функцию, обратную к $y = f(ax+b)$. Чтобы найти обратную функцию, нужно выразить переменную $x$ через переменную $y$.

Начнем с уравнения:
$y = f(ax+b)$

Применим функцию $g$ к обеим частям этого равенства:
$g(y) = g(f(ax+b))$

Так как $g$ и $f$ — взаимно обратные функции, то $g(f(z)) = z$. В нашем случае в качестве $z$ выступает выражение $ax+b$. Следовательно, правая часть уравнения упрощается:
$g(y) = ax+b$

Теперь из этого линейного уравнения выразим $x$:
$ax = g(y) - b$
$x = \frac{g(y) - b}{a}$
(Мы можем делить на $a$, так как по условию $a \neq 0$).

Мы получили выражение для $x$ через $y$. Это и есть искомая обратная функция, но записанная для аргумента $y$. Для получения стандартной записи обратной функции заменим в полученном выражении $y$ на $x$.

Ответ: $\frac{g(x) - b}{a}$

10.(5) Напишите формулу обратной функции $f^{-1}(x)$ для функции $f(x)=2x-|x+1|$.

Для того чтобы найти формулу обратной функции $f^{-1}(x)$, сначала необходимо представить исходную функцию $f(x) = 2x - |x+1|$ в кусочно-заданном виде, раскрыв модуль $|x+1|$. Раскрытие модуля зависит от знака подмодульного выражения $x+1$.

Рассмотрим два возможных случая:
1. Если $x+1 \geq 0$, что эквивалентно $x \geq -1$, то $|x+1| = x+1$.
В этом случае функция принимает вид: $f(x) = 2x - (x+1) = 2x - x - 1 = x-1$.
2. Если $x+1 < 0$, что эквивалентно $x < -1$, то $|x+1| = -(x+1)$.
В этом случае функция принимает вид: $f(x) = 2x - (-(x+1)) = 2x + x + 1 = 3x+1$.

Таким образом, исходную функцию можно записать в следующем виде:
$f(x) = \begin{cases} x - 1, & \text{если } x \geq -1 \\ 3x + 1, & \text{если } x < -1 \end{cases}$

Для существования обратной функции необходимо, чтобы исходная функция была строго монотонной. На интервале $x > -1$ производная $f'(x) = (x-1)' = 1 > 0$. На интервале $x < -1$ производная $f'(x) = (3x+1)' = 3 > 0$. Поскольку функция непрерывна в точке $x=-1$ и возрастает на обоих интервалах, она является строго возрастающей на всей области определения. Следовательно, обратная функция существует.

Теперь найдем формулу для обратной функции. Для этого в уравнении $y = f(x)$ выразим $x$ через $y$. Также определим область значений $E(f)$ для каждого из участков, так как она будет являться областью определения $D(f^{-1})$ для соответствующих участков обратной функции.
1. На участке $x \geq -1$ имеем $f(x) = x-1$. Область значений здесь: так как $x \geq -1$, то $y = x-1 \geq -1-1 = -2$. Итак, для $y \geq -2$ решаем уравнение $y = x-1$, откуда получаем $x = y+1$.
2. На участке $x < -1$ имеем $f(x) = 3x+1$. Область значений здесь: так как $x < -1$, то $3x < -3$, и $y=3x+1 < -3+1 = -2$. Итак, для $y < -2$ решаем уравнение $y = 3x+1$, откуда $3x = y-1$ и $x = \frac{y-1}{3}$.

Чтобы получить окончательную формулу для $f^{-1}(x)$, мы заменяем $y$ на $x$ в полученных выражениях. Область определения для каждой части обратной функции соответствует найденным областям значений исходной функции.

Ответ: $f^{-1}(x) = \begin{cases} x + 1, & \text{если } x \geq -2 \\ \frac{x-1}{3}, & \text{если } x < -2 \end{cases}$

11. Найдите функцию, обратную данной. Укажите область определения и область значений обратной функции. Постройте графики данной функции и обратной в одной системе координат:

а) (2) $y=(x+3)^2$, $x \le -3$;

б) (2) $y=(x-4)^2$, $x \ge 4$;

в) (3) $y=x^2+8x-4$, $x \ge -4$;

г) $y=x^2-2x+5$, $x \le 1$;

д) (2) $y=\sqrt{x-2}$;

е) (2) $y=\sqrt{3-x}$;

ж) (3) $y=4-\sqrt{x-1}$;

з) (3) $y=5+\sqrt{4-x}$.

а) (2) y=(x+8)², x≤-8

1. Анализ исходной функции $f(x) = (x+8)^2$ при $x \le -8$.
Область определения $D(f)$ задана условием $x \le -8$, то есть $D(f) = (-\infty, -8]$.
График функции — это левая ветвь параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(-8, 0)$. На заданном промежутке функция является монотонно убывающей.
Область значений $E(f)$ определяется значениями, которые принимает $y$. Поскольку $(x+8)^2 \ge 0$, минимальное значение $y=0$ достигается при $x=-8$. Таким образом, $E(f) = [0, +\infty)$.

2. Нахождение обратной функции.
Для нахождения обратной функции $y = f^{-1}(x)$ выразим $x$ через $y$ из исходного уравнения $y = (x+8)^2$, а затем поменяем переменные местами. $y = (x+8)^2 \implies \sqrt{y} = |x+8|$.
Так как по условию $x \le -8$, то $x+8 \le 0$, и $|x+8| = -(x+8)$.
$\sqrt{y} = -(x+8) \implies x+8 = -\sqrt{y} \implies x = -8 - \sqrt{y}$.
Теперь меняем $x$ и $y$ местами: $y = -8 - \sqrt{x}$.

3. Область определения и область значений обратной функции.
Область определения обратной функции $D(f^{-1})$ совпадает с областью значений исходной функции: $D(f^{-1}) = E(f) = [0, +\infty)$.
Область значений обратной функции $E(f^{-1})$ совпадает с областью определения исходной функции: $E(f^{-1}) = D(f) = (-\infty, -8]$.

4. Построение графиков.
График исходной функции $y=(x+8)^2, x \le -8$ — левая ветвь параболы с вершиной в $(-8, 0)$.
График обратной функции $y = -8 - \sqrt{x}, x \ge 0$ — кривая, начинающаяся в точке $(0, -8)$ и уходящая вправо и вниз.
Графики этих двух функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = -8 - \sqrt{x}$, ее область определения $D(f^{-1})=[0, +\infty)$, область значений $E(f^{-1})=(-\infty, -8]$.

б) (2) y=(x-4)², x≥4

1. Анализ исходной функции $f(x) = (x-4)^2$ при $x \ge 4$.
Область определения $D(f) = [4, +\infty)$.
График функции — это правая ветвь параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(4, 0)$. На этом промежутке функция монотонно возрастает.
Область значений $E(f) = [0, +\infty)$.

2. Нахождение обратной функции.
Из $y = (x-4)^2$ выражаем $x$: $\sqrt{y} = |x-4|$.
Так как $x \ge 4$, то $x-4 \ge 0$, и $|x-4| = x-4$.
$\sqrt{y} = x-4 \implies x = 4 + \sqrt{y}$.
Меняем $x$ и $y$ местами: $y = 4 + \sqrt{x}$.

3. Область определения и область значений обратной функции.
$D(f^{-1}) = E(f) = [0, +\infty)$.
$E(f^{-1}) = D(f) = [4, +\infty)$.

4. Построение графиков.
График исходной функции $y=(x-4)^2, x \ge 4$ — правая ветвь параболы с вершиной в $(4, 0)$.
График обратной функции $y = 4 + \sqrt{x}, x \ge 0$ — кривая, начинающаяся в точке $(0, 4)$ и уходящая вправо и вверх.
Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = 4 + \sqrt{x}$, ее область определения $D(f^{-1})=[0, +\infty)$, область значений $E(f^{-1})=[4, +\infty)$.

в) (3) y=x²+8x-4, x≥-4

1. Анализ исходной функции.
Выделим полный квадрат: $y = (x^2 + 8x + 16) - 16 - 4 = (x+4)^2 - 20$.
Область определения $D(f) = [-4, +\infty)$.
График — правая ветвь параболы с вершиной в $(-4, -20)$. Функция монотонно возрастает.
Область значений $E(f) = [-20, +\infty)$.

2. Нахождение обратной функции.
Из $y = (x+4)^2 - 20$ выражаем $x$: $y+20 = (x+4)^2 \implies \sqrt{y+20} = |x+4|$.
Так как $x \ge -4$, то $x+4 \ge 0$, и $|x+4| = x+4$.
$\sqrt{y+20} = x+4 \implies x = \sqrt{y+20} - 4$.
Меняем $x$ и $y$: $y = \sqrt{x+20} - 4$.

3. Область определения и область значений обратной функции.
$D(f^{-1}) = E(f) = [-20, +\infty)$.
$E(f^{-1}) = D(f) = [-4, +\infty)$.

4. Построение графиков.
График $y=(x+4)^2-20, x \ge -4$ — правая ветвь параболы с вершиной в $(-4, -20)$.
График $y = \sqrt{x+20} - 4, x \ge -20$ — кривая, начинающаяся в точке $(-20, -4)$ и идущая вправо и вверх.
Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = \sqrt{x+20} - 4$, ее область определения $D(f^{-1})=[-20, +\infty)$, область значений $E(f^{-1})=[-4, +\infty)$.

г) y=x²-2x+5, x≤1

1. Анализ исходной функции.
Выделим полный квадрат: $y = (x^2 - 2x + 1) - 1 + 5 = (x-1)^2 + 4$.
Область определения $D(f) = (-\infty, 1]$.
График — левая ветвь параболы с вершиной в $(1, 4)$. Функция монотонно убывает.
Область значений $E(f) = [4, +\infty)$.

2. Нахождение обратной функции.
Из $y = (x-1)^2 + 4$ выражаем $x$: $y-4 = (x-1)^2 \implies \sqrt{y-4} = |x-1|$.
Так как $x \le 1$, то $x-1 \le 0$, и $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.
$\sqrt{y-4} = 1-x \implies x = 1 - \sqrt{y-4}$.
Меняем $x$ и $y$: $y = 1 - \sqrt{x-4}$.

3. Область определения и область значений обратной функции.
$D(f^{-1}) = E(f) = [4, +\infty)$.
$E(f^{-1}) = D(f) = (-\infty, 1]$.

4. Построение графиков.
График $y=(x-1)^2+4, x \le 1$ — левая ветвь параболы с вершиной в $(1, 4)$.
График $y = 1 - \sqrt{x-4}, x \ge 4$ — кривая, начинающаяся в точке $(4, 1)$ и идущая вправо и вниз.
Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = 1 - \sqrt{x-4}$, ее область определения $D(f^{-1})=[4, +\infty)$, область значений $E(f^{-1})=(-\infty, 1]$.

д) (2) y=√x-2

1. Анализ исходной функции $f(x) = \sqrt{x-2}$.
Область определения $D(f)$ находится из условия $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$. $D(f) = [2, +\infty)$.
Функция монотонно возрастает.
Область значений $E(f)$, поскольку корень арифметический, $y \ge 0$. $E(f) = [0, +\infty)$.

2. Нахождение обратной функции.
Из $y = \sqrt{x-2}$ выражаем $x$: $y^2 = x-2 \implies x = y^2 + 2$.
Меняем $x$ и $y$: $y = x^2 + 2$.

3. Область определения и область значений обратной функции.
$D(f^{-1}) = E(f) = [0, +\infty)$.
$E(f^{-1}) = D(f) = [2, +\infty)$.
Таким образом, обратная функция $y = x^2+2$ рассматривается при $x \ge 0$.

4. Построение графиков.
График $y=\sqrt{x-2}$ — верхняя ветвь параболы, симметричной оси OX, с вершиной в $(2, 0)$.
График $y=x^2+2, x \ge 0$ — правая ветвь параболы с вершиной в $(0, 2)$.
Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = x^2 + 2$, ее область определения $D(f^{-1})=[0, +\infty)$, область значений $E(f^{-1})=[2, +\infty)$.

е) (2) y=√3-x

1. Анализ исходной функции $f(x) = \sqrt{3-x}$.
Область определения $D(f)$ находится из условия $3-x \ge 0 \implies x \le 3$. $D(f) = (-\infty, 3]$.
Функция монотонно убывает.
Область значений $E(f) = [0, +\infty)$.

2. Нахождение обратной функции.
Из $y = \sqrt{3-x}$ выражаем $x$: $y^2 = 3-x \implies x = 3 - y^2$.
Меняем $x$ и $y$: $y = 3 - x^2$.

3. Область определения и область значений обратной функции.
$D(f^{-1}) = E(f) = [0, +\infty)$.
$E(f^{-1}) = D(f) = (-\infty, 3]$.
Обратная функция $y = 3-x^2$ рассматривается при $x \ge 0$.

4. Построение графиков.
График $y=\sqrt{3-x}$ — верхняя ветвь параболы, симметричной оси OX, с вершиной в $(3, 0)$.
График $y=3-x^2, x \ge 0$ — правая ветвь параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в $(0, 3)$.
Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = 3 - x^2$, ее область определения $D(f^{-1})=[0, +\infty)$, область значений $E(f^{-1})=(-\infty, 3]$.

ж) (3) y=4-√x-1

1. Анализ исходной функции $f(x) = 4 - \sqrt{x-1}$.
Область определения $D(f)$ из условия $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$. $D(f) = [1, +\infty)$.
Функция монотонно убывает.
Область значений $E(f)$: так как $\sqrt{x-1} \ge 0$, то $-\sqrt{x-1} \le 0$, и $y = 4 - \sqrt{x-1} \le 4$. $E(f) = (-\infty, 4]$.

2. Нахождение обратной функции.
Из $y = 4 - \sqrt{x-1}$ выражаем $x$: $\sqrt{x-1} = 4 - y$.
Возводим в квадрат: $x-1 = (4-y)^2 \implies x = (4-y)^2 + 1$.
Меняем $x$ и $y$: $y = (4-x)^2 + 1$.

3. Область определения и область значений обратной функции.
$D(f^{-1}) = E(f) = (-\infty, 4]$.
$E(f^{-1}) = D(f) = [1, +\infty)$.
Обратная функция $y=(4-x)^2+1$ (или $y=(x-4)^2+1$) рассматривается при $x \le 4$.

4. Построение графиков.
График $y=4-\sqrt{x-1}$ начинается в точке $(1, 4)$ и идет вправо и вниз.
График $y=(x-4)^2+1, x \le 4$ — левая ветвь параболы с вершиной в $(4, 1)$.
Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = (x-4)^2 + 1$, ее область определения $D(f^{-1})=(-\infty, 4]$, область значений $E(f^{-1})=[1, +\infty)$.

з) (3) y=5+√4-x

1. Анализ исходной функции $f(x) = 5 + \sqrt{4-x}$.
Область определения $D(f)$ из условия $4-x \ge 0 \implies x \le 4$. $D(f) = (-\infty, 4]$.
Функция монотонно убывает.
Область значений $E(f)$: так как $\sqrt{4-x} \ge 0$, то $y = 5 + \sqrt{4-x} \ge 5$. $E(f) = [5, +\infty)$.

2. Нахождение обратной функции.
Из $y = 5 + \sqrt{4-x}$ выражаем $x$: $y-5 = \sqrt{4-x}$.
Возводим в квадрат: $(y-5)^2 = 4-x \implies x = 4 - (y-5)^2$.
Меняем $x$ и $y$: $y = 4 - (x-5)^2$.

3. Область определения и область значений обратной функции.
$D(f^{-1}) = E(f) = [5, +\infty)$.
$E(f^{-1}) = D(f) = (-\infty, 4]$.
Обратная функция $y=4-(x-5)^2$ рассматривается при $x \ge 5$.

4. Построение графиков.
График $y=5+\sqrt{4-x}$ начинается в точке $(4, 5)$ и идет влево и вверх.
График $y=4-(x-5)^2, x \ge 5$ — правая ветвь параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в $(5, 4)$.
Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = 4 - (x-5)^2$, ее область определения $D(f^{-1})=[5, +\infty)$, область значений $E(f^{-1})=(-\infty, 4]$.

12. (2) На улице, встав в кружок, беседуют четыре девочки: Мадина, Айгуль, Женя и Ира. Девочка в зеленом платье (не Мадина и не Айгуль) стоит между девочкой в голубом платье и Ирой. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом и Айгуль. Какое платье носит каждая из девочек?

Для решения этой логической задачи проанализируем все условия по шагам.

1. Определение девочки в зеленом платье

В условии сказано, что "Девочка в зеленом платье (не Мадина и не Айгуль)...". Это означает, что в зеленом платье может быть только Женя или Ира.
Далее в условии говорится, что эта девочка "...стоит между девочкой в голубом платье и Ирой". Отсюда следует, что девочка в зеленом платье и Ира — это два разных человека. Следовательно, Ира не может носить зеленое платье.
Таким образом, методом исключения мы устанавливаем, что Женя носит зеленое платье.

2. Определение девочки в голубом платье

Теперь мы знаем, что Женя (в зеленом) стоит между девочкой в голубом платье и Ирой.
Обратимся ко второму условию о расположении: "Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом и Айгуль". Это означает, что Айгуль не носит ни белое, ни розовое платье. Мы уже знаем, что зеленое платье носит Женя.
Следовательно, для Айгуль остается единственный возможный цвет платья — голубой.

3. Определение девочек в белом и розовом платьях

На данный момент известно: Женя в зеленом, Айгуль в голубом. Остались девочки Мадина и Ира, и платья — белое и розовое.
Снова используем условие: "Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом и Айгуль". Девочки стоят в кругу. Соседи Айгуль (в голубом платье) — это Женя (в зеленом) и еще одна девочка. По условию, один из соседей Айгуль — это девочка в белом платье. Так как Женя в зеленом, этим соседом она быть не может. Значит, другой сосед Айгуль — девочка в белом платье.
Ранее мы установили, что соседи Жени — это Айгуль и Ира. Следовательно, в кругу они стоят в порядке: Айгуль - Женя - Ира. Четвертая девочка, Мадина, замыкает круг и стоит между Ирой и Айгуль.
Именно Мадина и является соседкой Айгуль (помимо Жени). Следовательно, Мадина носит белое платье.
Методом исключения для Иры остается последнее платье — розовое.

Итоговая проверка

Сведем все полученные данные:
- Мадина — белое платье.
- Айгуль — голубое платье.
- Женя — зеленое платье.
- Ира — розовое платье.
Проверим соответствие условиям задачи, представив расположение девочек в кругу: Айгуль(голубое) → Женя(зеленое) → Ира(розовое) → Мадина(белое) → Айгуль(голубое)...
1. Девочка в зеленом платье (Женя) не Мадина и не Айгуль. — Верно.
2. Девочка в зеленом платье (Женя) стоит между девочкой в голубом платье (Айгуль) и Ирой. — Верно.
3. Девочка в белом платье (Мадина) стоит между девочкой в розовом (Ира) и Айгуль. — Верно.
Все условия выполнены.

Ответ:
Мадина носит белое платье.
Айгуль носит голубое платье.
Женя носит зеленое платье.
Ира носит розовое платье.

13. (2) Себестоимость выпускаемой на новом конвейере продукции в первые полгода ежемесячно уменьшалась в одно и то же число раз. Найдите себестоимость продукции во второй месяц этого полугодия (в тыс. тенге), если в четвертый месяц она составила 512 тыс. тенге, а в последний месяц – 327,68 тыс. тенге.

Поскольку себестоимость продукции ежемесячно уменьшалась в одно и то же число раз, последовательность ежемесячных себестоимостей представляет собой геометрическую прогрессию. Пусть $b_n$ — себестоимость продукции в $n$-й месяц (в тыс. тенге), а $q$ — знаменатель прогрессии (коэффициент уменьшения).

По условию задачи, рассматривается первое полугодие, то есть 6 месяцев. Нам даны значения для четвертого и шестого месяцев:

Себестоимость в четвертый месяц: $b_4 = 512$ тыс. тенге.

Себестоимость в шестой (последний) месяц: $b_6 = 327,68$ тыс. тенге.

Формула для члена геометрической прогрессии связывает любые два ее члена: $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$. Используем эту формулу для $b_6$ и $b_4$:

$b_6 = b_4 \cdot q^{6-4} = b_4 \cdot q^2$

Подставим известные значения и найдем $q$:

$327,68 = 512 \cdot q^2$

$q^2 = \frac{327,68}{512}$

$q^2 = 0,64$

Так как себестоимость уменьшается, знаменатель $q$ должен быть положительным числом. Следовательно:

$q = \sqrt{0,64} = 0,8$

Теперь необходимо найти себестоимость продукции во второй месяц, то есть $b_2$. Свяжем $b_4$ и $b_2$ с помощью той же формулы:

$b_4 = b_2 \cdot q^{4-2} = b_2 \cdot q^2$

Мы уже знаем значения $b_4$ и $q^2$. Подставим их в формулу, чтобы найти $b_2$:

$512 = b_2 \cdot 0,64$

$b_2 = \frac{512}{0,64} = \frac{51200}{64} = 800$

Таким образом, себестоимость продукции во второй месяц этого полугодия составляет 800 тыс. тенге.

Ответ: 800

Из данных четырех чисел первые три относятся между собой как $1/5: 1/3: 1/20$, а четвертое составляет $15\%$ второго. Найти эти числа, если известно, что второе число на 8 больше суммы остальных.

Пусть искомые четыре числа это $a$, $b$, $c$ и $d$.

1. Упрощение соотношения

По условию, первые три числа относятся между собой как $a : b : c = \frac{1}{5} : \frac{1}{3} : \frac{1}{20}$.Чтобы работать с целыми числами, найдем наименьшее общее кратное знаменателей (5, 3, 20). НОК(5, 3, 20) = 60.Умножим каждую часть отношения на 60:$a : b : c = (\frac{1}{5} \cdot 60) : (\frac{1}{3} \cdot 60) : (\frac{1}{20} \cdot 60)$$a : b : c = 12 : 20 : 3$Пусть $x$ — коэффициент пропорциональности. Тогда мы можем выразить первые три числа через $x$:$a = 12x$$b = 20x$$c = 3x$

2. Выражение четвертого числа

Четвертое число $d$ составляет 15% от второго числа $b$. Переведем проценты в десятичную дробь: $15\% = 0,15$.$d = 0,15 \cdot b$Подставим выражение для $b$ через $x$:$d = 0,15 \cdot (20x) = 3x$

3. Составление и решение уравнения

Согласно условию, второе число $b$ на 8 больше суммы остальных трех чисел ($a$, $c$ и $d$):$b = (a + c + d) + 8$Теперь подставим в это уравнение выражения для каждого числа через $x$:$20x = (12x + 3x + 3x) + 8$$20x = 18x + 8$Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть уравнения:$20x - 18x = 8$$2x = 8$$x = \frac{8}{2}$$x = 4$

4. Нахождение чисел

Зная значение $x=4$, мы можем найти каждое из четырех чисел:Первое число: $a = 12x = 12 \cdot 4 = 48$Второе число: $b = 20x = 20 \cdot 4 = 80$Третье число: $c = 3x = 3 \cdot 4 = 12$Четвертое число: $d = 3x = 3 \cdot 4 = 12$

Проверим полученный результат.Сумма первого, третьего и четвертого чисел: $48 + 12 + 12 = 72$.Второе число равно 80, что действительно на 8 больше, чем 72 ($72 + 8 = 80$).Условия задачи выполнены.

Ответ: искомые числа — 48, 80, 12, 12.

15. (2)
Из круга вырезали концентрический с ним круг, площадь которого составляет 81% от площади исходного круга. Какой процент от радиуса первоначального круга составляет толщина кольца?

Пусть $R$ — это радиус исходного (большего) круга, а $S_1$ — его площадь. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi \cdot (\text{радиус})^2$, следовательно, $S_1 = \pi R^2$.
Пусть $r$ — это радиус вырезанного (меньшего) круга, а $S_2$ — его площадь. Тогда $S_2 = \pi r^2$.
Согласно условию задачи, площадь вырезанного круга составляет 81% от площади исходного. Запишем это математически:
$S_2 = 0.81 \cdot S_1$
Теперь подставим в это соотношение формулы площадей:
$\pi r^2 = 0.81 \cdot (\pi R^2)$
Разделим обе части уравнения на $\pi$:
$r^2 = 0.81 R^2$
Чтобы найти соотношение между радиусами, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (так как радиус — величина положительная, берем только положительное значение корня):
$r = \sqrt{0.81 R^2} = \sqrt{0.81} \cdot \sqrt{R^2} = 0.9 R$
Это означает, что радиус меньшего круга составляет 90% от радиуса большего круга.
Толщина получившегося кольца представляет собой разность между радиусом исходного круга и радиусом вырезанного круга. Обозначим толщину кольца буквой $t$:
$t = R - r$
Подставим в эту формулу найденное выражение для $r$:
$t = R - 0.9 R = (1 - 0.9)R = 0.1 R$
Итак, толщина кольца $t$ составляет 0.1 от радиуса первоначального круга $R$. Чтобы выразить это отношение в процентах, умножим десятичную дробь на 100%:
$0.1 \times 100\% = 10\%$
Ответ: 10%.

Поезд должен пройти 54 км. Поезд прошел 14 км и был задержан на 10 мин у светофора. Увеличив первоначальную скорость на 10 км/ч, он прибыл на место назначения с опозданием на 2 мин. Определите первоначальную скорость.

16. (2)

Для решения задачи определим ключевые параметры и введем переменную.

Пусть $v$ (км/ч) — первоначальная скорость поезда.

Общий путь составляет 54 км. Поезд проехал 14 км до остановки. Оставшаяся часть пути равна:
$S_{ост} = 54 - 14 = 40$ км.

Задержка у светофора составила 10 минут, а общее опоздание на станцию назначения — 2 минуты. Это означает, что на оставшемся участке пути поезд наверстал (сэкономил) часть времени задержки:
Сэкономленное время $= 10 \text{ мин} - 2 \text{ мин} = 8$ минут.

Переведем сэкономленное время в часы, так как скорость дана в км/ч:
$8 \text{ мин} = \frac{8}{60} \text{ ч} = \frac{2}{15}$ ч.

Время, которое поезд потратил бы на оставшиеся 40 км, если бы двигался с первоначальной скоростью $v$, равно:
$t_{план} = \frac{40}{v}$ ч.

Фактически, поезд ехал оставшиеся 40 км с увеличенной скоростью $(v + 10)$ км/ч. Время, затраченное на это, составило:
$t_{факт} = \frac{40}{v + 10}$ ч.

Разница между плановым и фактическим временем прохождения этого участка и есть сэкономленное время. Составим уравнение:
$t_{план} - t_{факт} = \frac{2}{15}$
$\frac{40}{v} - \frac{40}{v + 10} = \frac{2}{15}$

Решим полученное уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{40(v + 10) - 40v}{v(v + 10)} = \frac{2}{15}$
$\frac{40v + 400 - 40v}{v^2 + 10v} = \frac{2}{15}$
$\frac{400}{v^2 + 10v} = \frac{2}{15}$

Применим свойство пропорции (перекрестное умножение):
$2(v^2 + 10v) = 400 \cdot 15$
$2(v^2 + 10v) = 6000$
Разделим обе части на 2:
$v^2 + 10v = 3000$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$v^2 + 10v - 3000 = 0$

Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$
$\sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110$

Теперь найдем значения $v$:
$v_1 = \frac{-10 + 110}{2 \cdot 1} = \frac{100}{2} = 50$
$v_2 = \frac{-10 - 110}{2 \cdot 1} = \frac{-120}{2} = -60$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -60$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, первоначальная скорость поезда была 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.