Номер 10, страница 59, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10.(5) Напишите формулу обратной функции $f^{-1}(x)$ для функции $f(x)=2x-|x+1|$.

Для того чтобы найти формулу обратной функции $f^{-1}(x)$, сначала необходимо представить исходную функцию $f(x) = 2x - |x+1|$ в кусочно-заданном виде, раскрыв модуль $|x+1|$. Раскрытие модуля зависит от знака подмодульного выражения $x+1$.

Рассмотрим два возможных случая:
1. Если $x+1 \geq 0$, что эквивалентно $x \geq -1$, то $|x+1| = x+1$.
В этом случае функция принимает вид: $f(x) = 2x - (x+1) = 2x - x - 1 = x-1$.
2. Если $x+1 < 0$, что эквивалентно $x < -1$, то $|x+1| = -(x+1)$.
В этом случае функция принимает вид: $f(x) = 2x - (-(x+1)) = 2x + x + 1 = 3x+1$.

Таким образом, исходную функцию можно записать в следующем виде:
$f(x) = \begin{cases} x - 1, & \text{если } x \geq -1 \\ 3x + 1, & \text{если } x < -1 \end{cases}$

Для существования обратной функции необходимо, чтобы исходная функция была строго монотонной. На интервале $x > -1$ производная $f'(x) = (x-1)' = 1 > 0$. На интервале $x < -1$ производная $f'(x) = (3x+1)' = 3 > 0$. Поскольку функция непрерывна в точке $x=-1$ и возрастает на обоих интервалах, она является строго возрастающей на всей области определения. Следовательно, обратная функция существует.

Теперь найдем формулу для обратной функции. Для этого в уравнении $y = f(x)$ выразим $x$ через $y$. Также определим область значений $E(f)$ для каждого из участков, так как она будет являться областью определения $D(f^{-1})$ для соответствующих участков обратной функции.
1. На участке $x \geq -1$ имеем $f(x) = x-1$. Область значений здесь: так как $x \geq -1$, то $y = x-1 \geq -1-1 = -2$. Итак, для $y \geq -2$ решаем уравнение $y = x-1$, откуда получаем $x = y+1$.
2. На участке $x < -1$ имеем $f(x) = 3x+1$. Область значений здесь: так как $x < -1$, то $3x < -3$, и $y=3x+1 < -3+1 = -2$. Итак, для $y < -2$ решаем уравнение $y = 3x+1$, откуда $3x = y-1$ и $x = \frac{y-1}{3}$.

Чтобы получить окончательную формулу для $f^{-1}(x)$, мы заменяем $y$ на $x$ в полученных выражениях. Область определения для каждой части обратной функции соответствует найденным областям значений исходной функции.

Ответ: $f^{-1}(x) = \begin{cases} x + 1, & \text{если } x \geq -2 \\ \frac{x-1}{3}, & \text{если } x < -2 \end{cases}$