Номер 1, страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 1

Найдите в Интернете определение и примеры геометрических преобразований: параллельный перенос, осевая симметрия, центральная симметрия.

Параллельный перенос

Параллельный перенос — это такое преобразование плоскости (или пространства), при котором все точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это преобразование задается вектором, который называется вектором переноса.

Если точка $M$ с координатами $(x; y)$ переходит в точку $M'$ с координатами $(x'; y')$ в результате параллельного переноса на вектор $\vec{a} = (a_x; a_y)$, то новые координаты вычисляются по формулам:
$x' = x + a_x$
$y' = y + a_y$

Параллельный перенос является движением, то есть он сохраняет расстояния между точками, а значит, и формы и размеры фигур. Любая прямая при параллельном переносе переходит либо в себя, либо в параллельную ей прямую.

Примеры параллельного переноса:
1. В быту: движение кабины лифта или вагона фуникулера, движение эскалатора.
2. В искусстве: орнаменты и узоры на обоях, тканях, бордюрах, где один и тот же элемент многократно повторяется со сдвигом.
3. В математике: график функции $y = f(x-a) + b$ получается из графика функции $y = f(x)$ параллельным переносом на вектор $\vec{v}(a; b)$.

Ответ: Параллельный перенос — это смещение всех точек плоскости в одном и том же направлении на одинаковое расстояние.

Осевая симметрия

Осевая симметрия (или отражение относительно прямой) — это преобразование плоскости, при котором каждой точке $M$ сопоставляется точка $M'$, такая, что заданная прямая $l$ (ось симметрии) является серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$. Если точка $M$ лежит на оси симметрии $l$, то она переходит сама в себя.

На координатной плоскости, если осью симметрии является ось абсцисс (Ox), то точка $M(x; y)$ переходит в точку $M'(x; -y)$. Если осью симметрии является ось ординат (Oy), то точка $M(x; y)$ переходит в точку $M'(-x; y)$.

Осевая симметрия, как и параллельный перенос, является движением — она сохраняет расстояния. Однако осевая симметрия меняет ориентацию фигуры (например, "левая" фигура становится "правой", как отражение в зеркале).

Примеры осевой симметрии:
1. В природе: крылья бабочки, лист дерева, снежинка (имеет 6 осей симметрии), отражение пейзажа в глади озера.
2. В архитектуре и быту: фасады многих зданий, человеческое лицо (приблизительно), некоторые буквы алфавита (А, М, П, Т, Ш имеют вертикальную ось; В, Е, З, С, Э имеют горизонтальную ось; Ж, Н, О, Ф, Х имеют обе).
3. В геометрии: равнобедренный треугольник (одна ось), ромб и прямоугольник (две оси), квадрат (четыре оси), окружность (бесконечно много осей).

Ответ: Осевая симметрия — это преобразование, при котором фигура отражается относительно прямой (оси симметрии), как в зеркале.

Центральная симметрия

Центральная симметрия (или симметрия относительно точки) — это преобразование плоскости, при котором каждой точке $M$ сопоставляется точка $M'$, такая, что заданная точка $O$ (центр симметрии) является серединой отрезка $MM'$. Центр симметрии $O$ является неподвижной точкой, то есть переходит сам в себя.

Центральная симметрия эквивалентна повороту на 180° вокруг центра симметрии.

Если центром симметрии является начало координат $O(0; 0)$, то точка $M(x; y)$ переходит в точку $M'(-x; -y)$.

Центральная симметрия также является движением, она сохраняет расстояния, формы и размеры фигур. В отличие от осевой симметрии, она сохраняет ориентацию (в плоскости).

Примеры центральной симметрии:
1. В технике и быту: колесо обозрения (противоположные кабинки), лопасти пропеллера (с четным числом лопастей), некоторые игральные карты (например, бубновый валет), знак "Инь-ян".
2. В алфавите: латинские буквы N, S, Z; русские буквы И, Ф.
3. В геометрии: параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник, окружность (центр фигуры является центром симметрии). Треугольник не имеет центра симметрии.

Ответ: Центральная симметрия — это преобразование, при котором каждая точка фигуры переходит в точку, симметричную ей относительно заданной точки (центра симметрии), что равносильно повороту фигуры на 180° вокруг этого центра.