Номер 1, страница 67, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

1. (1) Дана функция $f(x) = x^2 - 6x$. Постройте графики функций:

а) $y = f(x) - 2$;

б) $y = f(x - 2)$;

в) $y = 2f(x)$;

г) $y = f(2x)$;

д) $y = -f(x)$;

е) $y = f(-x)$;

ж) $y = f(|x|)$;

з) $y = |f(x)|$;

и) $y = |f(|x|)|$.

Для построения графиков всех указанных функций, сначала проанализируем и построим базовый график функции $f(x) = x^2 - 6x$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$.

Найдем вершину параболы. Абсцисса вершины: $x_v = -b / (2a) = -(-6) / (2 \cdot 1) = 3$.

Ордината вершины: $y_v = f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 = 9 - 18 = -9$.

Следовательно, вершина параболы находится в точке $(3, -9)$.

Найдем точки пересечения с осью абсцисс (нули функции), решив уравнение $f(x) = 0$:

$x^2 - 6x = 0 \implies x(x - 6) = 0$.

Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$. Точки пересечения с осью $Ox$: $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

Точка пересечения с осью ординат — $(0, f(0))$, что совпадает с точкой $(0, 0)$.

Таким образом, базовый график $y=f(x)$ — это парабола с вершиной в $(3, -9)$, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

а) y=f(x)−2;

График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем параллельного переноса на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Новая функция имеет вид $y = x^2 - 6x - 2$. Вершина исходной параболы $(3, -9)$ смещается в точку $(3, -9-2) = (3, -11)$.

Ответ: График функции $y=f(x)-2$ — это парабола $y=x^2-6x$, смещенная на 2 единицы вниз. Ее вершина находится в точке $(3, -11)$.

б) y=f(x−2);

График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем параллельного переноса на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$. Новая функция имеет вид $y = (x-2)^2 - 6(x-2) = x^2 - 4x + 4 - 6x + 12 = x^2 - 10x + 16$. Вершина исходной параболы $(3, -9)$ смещается в точку $(3+2, -9) = (5, -9)$.

Ответ: График функции $y=f(x-2)$ — это парабола $y=x^2-6x$, смещенная на 2 единицы вправо. Ее вершина находится в точке $(5, -9)$.

в) y=2f(x);

График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем растяжения в 2 раза от оси $Ox$ (вдоль оси $Oy$). Новая функция: $y = 2(x^2 - 6x) = 2x^2 - 12x$. Каждая ордината графика умножается на 2. Вершина $(3, -9)$ переходит в точку $(3, 2 \cdot (-9)) = (3, -18)$. Нули функции $(0, 0)$ и $(6, 0)$ остаются на месте.

Ответ: График функции $y=2f(x)$ — это парабола, растянутая в 2 раза вдоль оси $Oy$ по сравнению с исходной. Ее вершина находится в точке $(3, -18)$, а точки пересечения с осью $Ox$ те же: $(0,0)$ и $(6,0)$.

г) y=f(2x);

График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем сжатия в 2 раза к оси $Oy$ (вдоль оси $Ox$). Новая функция: $y = (2x)^2 - 6(2x) = 4x^2 - 12x$. Каждая абсцисса графика делится на 2. Вершина $(3, -9)$ переходит в точку $(3/2, -9) = (1.5, -9)$. Нули функции $x=0$ и $x=6$ переходят в $x=0/2=0$ и $x=6/2=3$.

Ответ: График функции $y=f(2x)$ — это парабола, сжатая в 2 раза к оси $Oy$ по сравнению с исходной. Ее вершина находится в точке $(1.5, -9)$, а точки пересечения с осью $Ox$: $(0,0)$ и $(3,0)$.

д) y=−f(x);

График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси $Ox$. Новая функция: $y = -(x^2 - 6x) = -x^2 + 6x$. Ветви параболы теперь направлены вниз. Вершина $(3, -9)$ переходит в точку $(3, 9)$. Нули функции остаются на месте.

Ответ: График функции $y=-f(x)$ — это парабола, симметричная исходной относительно оси $Ox$. Ее ветви направлены вниз, вершина находится в точке $(3, 9)$.

е) y=f(−x);

График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси $Oy$. Новая функция: $y = (-x)^2 - 6(-x) = x^2 + 6x$. Вершина $(3, -9)$ переходит в точку $(-3, -9)$. Новые нули функции: $x=0$ и $x=-6$.

Ответ: График функции $y=f(-x)$ — это парабола, симметричная исходной относительно оси $Oy$. Ее вершина находится в точке $(-3, -9)$.

ж) y=f(|x|);

Для построения этого графика нужно часть графика $y=f(x)$, соответствующую $x \ge 0$, оставить без изменений, а затем отразить ее симметрично относительно оси $Oy$. Часть графика при $x < 0$ удаляется. Так как $y=f(|x|) = |x|^2 - 6|x| = x^2 - 6|x|$, это четная функция, и ее график симметричен относительно оси $Oy$. Правая часть графика — это часть исходной параболы с вершиной в $(3, -9)$. Левая часть — ее зеркальное отражение, то есть параболическая кривая с "вершиной" в $(-3, -9)$.

Ответ: График $y=f(|x|)$ симметричен относительно оси $Oy$. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y=x^2-6x$. Для $x < 0$ он является отражением правой части. График имеет форму буквы 'W' с нижними точками в $(3, -9)$ и $(-3, -9)$ и проходит через точки $(-6,0)$, $(0,0)$ и $(6,0)$.

з) y=|f(x)|;

Для построения этого графика нужно часть графика $y=f(x)$, расположенную ниже оси $Ox$, отразить симметрично относительно этой оси, а часть, расположенную выше или на оси $Ox$, оставить без изменений. Исходная парабола $y=x^2-6x$ находится ниже оси $Ox$ на интервале $(0, 6)$. Эта часть графика отражается вверх. Вершина $(3, -9)$ переходит в точку $(3, 9)$, которая становится точкой локального максимума.

Ответ: График $y=|f(x)|$ получается из графика $y=f(x)$ отражением части, лежащей под осью $Ox$, вверх. График касается оси $Ox$ в точках $(0, 0)$ и $(6, 0)$, а между ними имеет максимум в точке $(3, 9)$.

и) y=|f(|x|)|.

Этот график можно получить, применив последовательно два преобразования. Сначала строим график $y=f(|x|)$ (как в пункте ж), а затем к нему применяем операцию взятия модуля (как в пункте з). График $y=f(|x|)$ (W-образная кривая) находится ниже оси $Ox$ на интервалах $(-6, 0)$ и $(0, 6)$. Эти части отражаются симметрично относительно оси $Ox$. Вершины $(3, -9)$ и $(-3, -9)$ переходят в точки $(3, 9)$ и $(-3, 9)$ соответственно.

Ответ: График функции $y=|f(|x|)|$ симметричен относительно оси $Oy$. Он касается оси $Ox$ в точках $(-6, 0)$, $(0, 0)$ и $(6, 0)$. Имеет две точки максимума: $(-3, 9)$ и $(3, 9)$.