Номер 7, страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Составьте план и постройте графики функций (7–10):

7. (2)

$f(x) = |x^2 - 4|x| + 3|$

План построения графика

Для построения графика функции $f(x) = |x^2 - 4|x| + 3|$ будем использовать метод последовательных преобразований:

1. Построить график базовой квадратичной функции $y = x^2 - 4x + 3$.

2. Используя правило построения графика $y = g(|x|)$, построить график промежуточной функции $y = x^2 - 4|x| + 3$. Для этого часть графика из пункта 1 для $x \ge 0$ оставить без изменений, а затем отразить ее симметрично относительно оси OY для $x < 0$.

3. Используя правило построения графика $y = |h(x)|$, построить итоговый график функции $y = |x^2 - 4|x| + 3|$. Для этого части графика из пункта 2, лежащие ниже оси OX, отразить симметрично относительно оси OX. Части, лежащие выше или на оси OX, оставить без изменений.

Построение графика

Следуем составленному плану.

Шаг 1: Анализ и построение графика функции $y = x^2 - 4x + 3$.

Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$).

• Вершина параболы: $x_v = -b/(2a) = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$. Координата $y_v = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Таким образом, вершина находится в точке $(2, -1)$.

• Нули функции (точки пересечения с осью OX): Решаем уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

• Точка пересечения с осью OY: При $x=0$, $y = 3$. Точка $(0, 3)$.

Шаг 2: Построение графика функции $g(x) = x^2 - 4|x| + 3$.

Функция является четной, так как $x^2 = |x|^2$ и $g(-x) = (-x)^2 - 4|-x| + 3 = x^2 - 4|x| + 3 = g(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY.

• При $x \ge 0$, функция совпадает с $y = x^2 - 4x + 3$. Используем часть параболы из Шага 1, находящуюся в правой полуплоскости ($x \ge 0$). Ключевые точки этой части: $(0, 3)$, $(1, 0)$, $(2, -1)$ и $(3, 0)$.

• Симметрично отражаем эту часть относительно оси OY, чтобы получить график для $x < 0$. Новые ключевые точки: $(-1, 0)$, $(-2, -1)$ и $(-3, 0)$. Точка $(0,3)$ лежит на оси симметрии и остается на месте.

Полученный график $y = g(x)$ имеет форму 'W', с минимумами в точках $(2, -1)$ и $(-2, -1)$.

Шаг 3: Построение графика итоговой функции $f(x) = |x^2 - 4|x| + 3|$.

Применяем преобразование $y = |g(x)|$. Все части графика, находящиеся под осью OX, отражаются симметрично относительно этой оси.

• Отрицательные значения $g(x)$ находятся на интервалах $(-3, -1)$ и $(1, 3)$. Эти участки параболы отражаются вверх.

• Точка минимума $(2, -1)$ становится точкой локального максимума $(2, 1)$.

• Точка минимума $(-2, -1)$ становится точкой локального максимума $(-2, 1)$.

• Части графика, где $g(x) \ge 0$, остаются на своих местах.

Итоговый график функции $f(x)$ имеет следующие характеристики:

• Область значений: $[0, +\infty)$. График полностью лежит не ниже оси OX.

• График симметричен относительно оси OY.

• Локальные максимумы находятся в точках $(-2, 1)$, $(0, 3)$ и $(2, 1)$.

• Локальные минимумы (нули функции) находятся в точках $(-3, 0)$, $(-1, 0)$, $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

Ответ: План и пошаговое построение графика представлены выше. Итоговый график симметричен относительно оси OY, имеет локальные максимумы в точках $(-2, 1)$, $(0, 3)$, $(2, 1)$ и нули (являющиеся локальными минимумами) в точках $x = \pm 1$ и $x = \pm 3$.