Номер 9, страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

9. (3) a) $y=2-\sqrt{|x-3|}$;

б) $y=|2-\sqrt{|x-3||}$;

а) $y=2-\sqrt{|x-3|}$

Для построения графика данной функции выполним последовательность преобразований графика базовой функции $y=\sqrt{x}$.

1. Построим график функции $y_1=\sqrt{x}$. Это ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти.

2. Построим график функции $y_2=\sqrt{|x|}$. Поскольку функция четная, ее график симметричен относительно оси OY. Для $x \ge 0$ имеем $|x|=x$, поэтому график $y_2$ совпадает с графиком $y_1$. Для $x < 0$ график $y_2$ получается отражением части графика для $x > 0$ симметрично относительно оси OY. Получаем график, состоящий из двух ветвей, выходящих из точки $(0, 0)$.

3. Построим график функции $y_3=\sqrt{|x-3|}$. Этот график получается сдвигом графика $y_2=\sqrt{|x|}$ на 3 единицы вправо вдоль оси OX. Вершина графика переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(3, 0)$. Ось симметрии графика — прямая $x=3$.

4. Построим график функции $y_4=-\sqrt{|x-3|}$. Этот график получается симметричным отражением графика $y_3$ относительно оси OX. Ветви графика теперь направлены вниз, вершина остается в точке $(3, 0)$.

5. Построим искомый график функции $y=2-\sqrt{|x-3|}$. Этот график получается сдвигом графика $y_4$ на 2 единицы вверх вдоль оси OY. Вершина графика переместится из точки $(3, 0)$ в точку $(3, 2)$.

Проанализируем полученную функцию:

– Область определения: выражение под корнем $|x-3|$ всегда неотрицательно, поэтому $x$ может быть любым действительным числом. $D(y)=(-\infty; +\infty)$.

– Область значений: максимальное значение функции достигается в вершине при $x=3$, $y(3)=2-\sqrt{|3-3|}=2$. Ветви уходят в минус бесконечность. $E(y)=(-\infty; 2]$.

– Точки пересечения с осями координат:

С осью OY (при $x=0$): $y = 2-\sqrt{|0-3|} = 2-\sqrt{3}$. Точка пересечения: $(0, 2-\sqrt{3})$.

С осью OX (при $y=0$): $0=2-\sqrt{|x-3|} \Rightarrow \sqrt{|x-3|}=2 \Rightarrow |x-3|=4$. Отсюда получаем два уравнения: $x-3=4 \Rightarrow x=7$ и $x-3=-4 \Rightarrow x=-1$. Точки пересечения: $(-1, 0)$ и $(7, 0)$.

Ответ: График функции $y=2-\sqrt{|x-3|}$ представляет собой две симметричные относительно прямой $x=3$ ветви, выходящие из точки $(3, 2)$ и направленные вниз. График пересекает ось OY в точке $(0, 2-\sqrt{3})$ и ось OX в точках $(-1, 0)$ и $(7, 0)$.

б) $y=|2-\sqrt{|x-3|}|$

График этой функции можно получить из графика функции $f(x)=2-\sqrt{|x-3|}$, построенного в пункте а), с помощью преобразования $y=|f(x)|$.

Правило построения графика $y=|f(x)|$ на основе графика $y=f(x)$:

1. Часть графика $y=f(x)$, которая находится выше или на оси OX (то есть где $f(x) \ge 0$), остается без изменений.

2. Часть графика $y=f(x)$, которая находится ниже оси OX (то есть где $f(x) < 0$), отражается симметрично относительно оси OX.

Из анализа в пункте а) мы знаем:

– График функции $f(x)=2-\sqrt{|x-3|}$ находится на или выше оси OX ($y \ge 0$) на отрезке между корнями, то есть при $x \in [-1, 7]$. Эту часть графика мы оставляем без изменений.

– График функции $f(x)$ находится ниже оси OX ($y < 0$) при $x \in (-\infty, -1) \cup (7, +\infty)$. Эти две ветви, уходящие в минус бесконечность, мы должны отразить симметрично относительно оси OX.

В результате преобразования получим:

– Часть графика на отрезке $[-1, 7]$ останется прежней — это "шапочка" с вершиной в точке $(3, 2)$ и концами в точках $(-1, 0)$ и $(7, 0)$.

– Ветви графика для $x < -1$ и $x > 7$ будут отражены вверх и будут уходить в плюс бесконечность.

Проанализируем полученную функцию:

– Область определения: не изменяется, $D(y)=(-\infty; +\infty)$.

– Область значений: так как функция является модулем, ее значения всегда неотрицательны. Минимальное значение равно 0, а максимального нет. $E(y)=[0; +\infty)$.

– Точки пересечения с осями координат:

С осью OY (при $x=0$): $y = |2-\sqrt{|0-3|}| = |2-\sqrt{3}| = 2-\sqrt{3}$. Точка пересечения: $(0, 2-\sqrt{3})$.

С осью OX (при $y=0$): $|2-\sqrt{|x-3|}|=0$, что эквивалентно уравнению из пункта а). Точки пересечения: $(-1, 0)$ и $(7, 0)$.

– Экстремумы: Точка $(3, 2)$ является точкой локального максимума. Точки $(-1, 0)$ и $(7, 0)$ являются точками минимума (и глобального, и локального).

Ответ: График функции $y=|2-\sqrt{|x-3|}|$ симметричен относительно прямой $x=3$. Он состоит из центральной части, совпадающей с графиком из пункта а) на отрезке $x \in [-1, 7]$ (с вершиной в точке $(3, 2)$), и двух ветвей, которые являются отражением соответствующих ветвей графика из пункта а) относительно оси OX и уходят в плюс бесконечность при $x \to \pm\infty$. Точки $(-1, 0)$ и $(7, 0)$ являются точками минимума.