Номер 11, страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

11. (3) Постройте на одной координатной плоскости графики $f(x)=||3-|x||-5|$ и $g(x)=x+2$.

а) Решите уравнение $f(x)=g(x)$.

б) Решите неравенство $f(x)\ge g(x)$.

в) Решите неравенство $f(x)>g(x)$.

Сначала построим графики функций $f(x) = ||3 - |x|| - 5|$ и $g(x) = x + 2$ на одной координатной плоскости.

График функции $g(x) = x + 2$ — это прямая линия. Найдем две точки, чтобы ее построить:
- При $x=0$, $g(0) = 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
- При $x=-2$, $g(-2) = -2 + 2 = 0$. Точка $(-2, 0)$.

Для построения графика функции $f(x) = ||3 - |x|| - 5|$ воспользуемся преобразованиями. Функция является четной, так как $f(-x) = ||3 - |-x|| - 5| = ||3 - |x|| - 5| = f(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси OY. Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем отразить его симметрично.

При $x \ge 0$, функция имеет вид $f(x) = ||3 - x| - 5|$.
Раскроем модули последовательно:
1. Если $0 \le x \le 3$, то $|3-x| = 3-x$. Функция принимает вид $f(x) = |(3-x) - 5| = |-x-2| = |-(x+2)| = x+2$.
2. Если $x > 3$, то $|3-x| = x-3$. Функция принимает вид $f(x) = |(x-3) - 5| = |x-8|$.
- Если $3 < x \le 8$, то $|x-8| = 8-x$.
- Если $x > 8$, то $|x-8| = x-8$.

Итак, для $x \ge 0$ функция $f(x)$ задается кусочно:
$f(x) = \begin{cases} x+2, & \text{если } 0 \le x \le 3 \\ 8-x, & \text{если } 3 < x \le 8 \\ x-8, & \text{если } x > 8 \end{cases}$

Ключевые точки графика для $x \ge 0$:
- $(0, 2)$
- $(3, 3+2) = (3, 5)$
- $(8, 8-8) = (8, 0)$
Отражая эти точки относительно оси OY, получаем ключевые точки для $x < 0$:$
- $(-3, 5)$
- $(-8, 0)$

График $f(x)$ состоит из отрезков, соединяющих точки $(-8, 0)$, $(-3, 5)$, $(0, 2)$, $(3, 5)$, $(8, 0)$, и двух лучей, продолжающихся от крайних точек. График $g(x)$ — прямая, проходящая через точки $(-2, 0)$ и $(0, 2)$.
Заметим, что на отрезке $[0, 3]$ графики функций $f(x)$ и $g(x)$ совпадают.

а) Решите уравнение $f(x)=g(x)$.
Решить уравнение $f(x) = g(x)$ — значит найти абсциссы точек пересечения их графиков. Из построения видно, что графики совпадают на отрезке $[0, 3]$, так как на этом отрезке обе функции равны $x+2$. Проверим другие промежутки аналитически.
- При $x \in (-\infty, -8]$: $-x-8=x+2 \implies -2x=10 \implies x=-5$. Не входит в промежуток.
- При $x \in (-8, -3)$: $x+8=x+2 \implies 8=2$. Решений нет.
- При $x \in [-3, 0)$: $2-x=x+2 \implies -x=x \implies 2x=0 \implies x=0$. Не входит в промежуток.
- При $x \in (3, 8]$: $8-x=x+2 \implies 6=2x \implies x=3$. Не входит в промежуток.
- При $x \in (8, +\infty)$: $x-8=x+2 \implies -8=2$. Решений нет.
Таким образом, решения существуют только на отрезке $[0, 3]$.
Ответ: $x \in [0, 3]$.

б) Решите неравенство $f(x)\ge g(x)$.
Решить неравенство $f(x) \ge g(x)$ — значит найти все значения $x$, при которых график $f(x)$ лежит не ниже графика $g(x)$. На отрезке $[0, 3]$ выполняется равенство, значит, он входит в решение.
Рассмотрим остальные промежутки:
- При $x \in (-\infty, -8]$: $-x-8 \ge x+2 \implies -10 \ge 2x \implies x \le -5$. Пересечение с $x \le -8$ дает $x \le -8$.
- При $x \in (-8, -3)$: $x+8 \ge x+2 \implies 8 \ge 2$. Верно для всего промежутка.
- При $x \in [-3, 0)$: $2-x \ge x+2 \implies 0 \ge 2x \implies x \le 0$. Верно для всего промежутка.
- При $x > 3$ неравенство не выполняется, так как $f(x) < g(x)$.
Объединяя решения $(-\infty, -8] \cup (-8, -3) \cup [-3, 0) \cup [0, 3]$, получаем единый промежуток.
Ответ: $x \in (-\infty, 3]$.

в) Решите неравенство $f(x)> g(x)$.
Решить неравенство $f(x) > g(x)$ — значит найти все значения $x$, при которых график $f(x)$ лежит строго выше графика $g(x)$.
Это решение неравенства $f(x) \ge g(x)$ за исключением тех точек, где $f(x) = g(x)$.
Мы знаем, что $f(x) \ge g(x)$ при $x \in (-\infty, 3]$ и $f(x) = g(x)$ при $x \in [0, 3]$.
Исключая отрезок $[0, 3]$ из промежутка $(-\infty, 3]$, получаем $(-\infty, 0)$.
Проверка по промежуткам, как в пункте б), но со строгим неравенством, подтверждает этот результат.
Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.