Номер 12, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. (1) Постройте графики функций на одной плоскости:

а) $y=-x$;

б) $y=-x-3$;

в) $y=|-x-3|$;

г) $y=|x+3|-5$;

д) $y=||x+3|-5||$;

е) $y=||-x+3|-5||$;

ж) $y=||3-|x|-5||$. По графику ж) сделайте исследование функции.

а) Функция $y=-x$. Это линейная функция, её график — прямая линия, которая проходит через начало координат (0,0) и точку (1,-1). Она является биссектрисой II и IV координатных четвертей.
Ответ: График функции $y=-x$ — это прямая, проходящая через точки (0,0) и (1,-1).

б) Функция $y=-x-3$. График этой функции получается из графика функции $y=-x$ (из пункта а) путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси Oy на 3 единицы вниз. Прямая будет проходить через точки (0, -3) и (-3, 0).
Ответ: График функции $y=-x-3$ — это прямая, полученная сдвигом прямой $y=-x$ на 3 единицы вниз.

в) Функция $y=|-x-3|$. Используя свойство модуля $|-a|=|a|$, можем переписать функцию как $y=|-(x+3)|=|x+3|$. График этой функции получается из графика базовой функции $y=|x|$ (график в виде "галочки" с вершиной в начале координат) путем сдвига на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Вершина графика окажется в точке (-3, 0).
Альтернативно, график $y=|-x-3|$ можно получить из графика $y=-x-3$ (из пункта б), отразив ту часть графика, которая лежит ниже оси Ox, симметрично относительно оси Ox.
Ответ: График функции $y=|-x-3|$ эквивалентен графику $y=|x+3|$, который представляет собой график $y=|x|$, сдвинутый на 3 единицы влево.

г) Функция $y=|x+3|-5$. График этой функции получается из графика функции $y=|x+3|$ (из пункта в) путем сдвига на 5 единиц вниз вдоль оси Oy. Вершина графика сместится из точки (-3, 0) в точку (-3, -5).
Ответ: График функции $y=|x+3|-5$ — это график $y=|x+3|$, сдвинутый на 5 единиц вниз.

д) Функция $y=||x+3|-5|$. График этой функции получается из графика функции $y=|x+3|-5$ (из пункта г) путем симметричного отражения относительно оси Ox той части графика, которая лежит ниже оси Ox. Часть графика, которая находится выше или на оси Ox, остается без изменений. Вершина в точке (-3, -5) отразится в точку (-3, 5).
Ответ: График функции $y=||x+3|-5|$ получается из графика $y=|x+3|-5$ отражением его отрицательной части ($y<0$) относительно оси Ox.

е) Функция $y=|-|x+3|-5|$. Проанализируем выражение под внешним модулем. Так как $|x+3| \ge 0$, то $-|x+3| \le 0$. Следовательно, выражение $-|x+3|-5$ всегда отрицательно (его значение не превышает -5). По определению модуля, $|a|=-a$ для $a \le 0$. Таким образом, $y = -(-|x+3|-5) = |x+3|+5$.
График этой функции получается из графика $y=|x+3|$ (из пункта в) сдвигом на 5 единиц вверх вдоль оси Oy. Вершина будет в точке (-3, 5).
Ответ: График функции $y=|-|x+3|-5|$ совпадает с графиком функции $y=|x+3|+5$, который получается сдвигом графика $y=|x+3|$ на 5 единиц вверх.

ж) Построим график функции $y=||3-|x||-5|$ и проведем его исследование. Построение будем выполнять последовательно, используя преобразования графиков:
1. $y=|x|$ — базовый график, "галочка" с вершиной в (0,0).
2. $y=-|x|$ — график $y=|x|$, отраженный симметрично относительно оси Ox. "Галочка", перевернутая вниз.
3. $y=3-|x|$ — график $y=-|x|$, сдвинутый на 3 единицы вверх по оси Oy. Вершина в точке (0,3).
4. $y=|3-|x||$ — часть графика $y=3-|x|$, лежащая ниже оси Ox (при $|x|>3$), отражается симметрично относительно оси Ox. Получается график в форме буквы "W" с пиком в (0,3) и изломами в точках (-3,0) и (3,0).
5. $y=|3-|x||-5$ — график $y=|3-|x||$, сдвинутый на 5 единиц вниз по оси Oy. Пик "W" смещается в (0,-2), а точки излома в (-3,-5) и (3,-5).
6. $y=||3-|x||-5|$ — итоговый график. Часть графика $y=|3-|x||-5$, лежащая ниже оси Ox, отражается симметрично относительно этой оси. Точки пересечения с осью Ox ($x=\pm8$) остаются на месте. Точка (0,-2) переходит в (0,2). Точки (-3,-5) и (3,-5) переходят в пики (3,5) и (-3,5).

Исследование функции $y=||3-|x||-5|$ по графику:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$, так как выражение определено для любого действительного $x$.
2. Область значений: Функция является модулем, поэтому её значения неотрицательны. Минимальное значение равно 0. Максимального значения нет. $E(y) = [0, +\infty)$.
3. Четность: $y(-x) = ||3-|-x||-5| = ||3-|x||-5| = y(x)$. Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.
4. Нули функции: $y=0$ при $||3-|x||-5|=0 \implies |3-|x||=5$. Это уравнение равносильно совокупности $3-|x|=5$ (что дает $|x|=-2$, нет решений) и $3-|x|=-5$ (что дает $|x|=8$). Нули функции: $x=-8$ и $x=8$.
5. Промежутки знакопостоянства: Так как $y \ge 0$ для всех $x$, то $y>0$ при $x \in (-\infty, -8) \cup (-8, 8) \cup (8, +\infty)$.
6. Промежутки монотонности:
• Функция возрастает на промежутках $[-8, -3]$, $[0, 3]$ и $[8, +\infty)$.
• Функция убывает на промежутках $(-\infty, -8]$, $[-3, 0]$ и $[3, 8]$.
7. Экстремумы:
• Точки локального минимума: $x_{min}=-8$, $x_{min}=0$, $x_{min}=8$.
Значения в точках минимума: $y(\pm8)=0$, $y(0)=2$.
• Точки локального максимума: $x_{max}=-3$, $x_{max}=3$.
Значения в точках максимума: $y(\pm3)=5$.
• Наименьшее значение функции равно 0 (достигается в точках $x=\pm8$).
• Наибольшего значения функция не имеет.

Ответ: График функции $y=||3-|x||-5|$ строится последовательными преобразованиями. Свойства функции: $D(y)=(-\infty, +\infty)$, $E(y)=[0, +\infty)$, функция четная, нули $x=\pm8$, возрастает на $[-8, -3]\cup[0, 3]\cup[8, \infty)$, убывает на $(-\infty, -8]\cup[-3, 0]\cup[3, 8]$, локальные минимумы в точках $x=0$ (значение 2) и $x=\pm8$ (значение 0), локальные максимумы в точках $x=\pm3$ (значение 5).