Номер 19, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

19. (3)

a) $y=2-\sqrt{3-|x|}$;

б) $y=\left|2-\sqrt{3-|x|}\right|$;

а) $y = 2 - \sqrt{3 - |x|}$

Для решения задачи проведем полное исследование функции.

1. Область определения функции (ОДЗ).

Функция определена, когда выражение под знаком квадратного корня неотрицательно:

$3 - |x| \ge 0$

Перенесем $|x|$ в правую часть:

$|x| \le 3$

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-3 \le x \le 3$

Следовательно, область определения функции: $D(y) = [-3; 3]$.

2. Область значений функции.

Найдем множество значений, которые может принимать $y$, исходя из области определения $x$.

Начнем с $x \in [-3; 3]$. Тогда для модуля $x$ имеем: $0 \le |x| \le 3$.

Умножим неравенство на $-1$, знаки неравенства изменятся на противоположные: $-3 \le -|x| \le 0$.

Прибавим ко всем частям неравенства 3: $3 - 3 \le 3 - |x| \le 3 + 0$, что дает $0 \le 3 - |x| \le 3$.

Теперь извлечем квадратный корень: $\sqrt{0} \le \sqrt{3 - |x|} \le \sqrt{3}$, то есть $0 \le \sqrt{3 - |x|} \le \sqrt{3}$.

Снова умножим на $-1$: $-\sqrt{3} \le -\sqrt{3 - |x|} \le 0$.

Наконец, прибавим 2 ко всем частям: $2 - \sqrt{3} \le 2 - \sqrt{3 - |x|} \le 2 + 0$.

Итак, область значений функции: $E(y) = [2 - \sqrt{3}; 2]$.

3. Четность функции.

Проверим, выполняется ли равенство $y(-x) = y(x)$ или $y(-x) = -y(x)$.

$y(-x) = 2 - \sqrt{3 - |-x|} = 2 - \sqrt{3 - |x|} = y(x)$.

Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Минимальное значение $y = 2 - \sqrt{3}$ достигается при $x=0$, а максимальное значение $y=2$ достигается при $x=\pm3$.

Ответ: Область определения функции $D(y) = [-3; 3]$. Область значений функции $E(y) = [2 - \sqrt{3}; 2]$. Функция является четной.

б) $y = |2 - \sqrt{3 - |x|}|$

1. Область определения функции (ОДЗ).

Область определения этой функции определяется тем же условием, что и в пункте а), так как подкоренное выражение не изменилось: $3 - |x| \ge 0$.

Следовательно, область определения функции: $D(y) = [-3; 3]$.

2. Область значений функции.

Рассмотрим выражение, стоящее под знаком модуля: $f(x) = 2 - \sqrt{3 - |x|}$.

Из решения пункта а) мы знаем, что область значений функции $f(x)$ — это отрезок $[2 - \sqrt{3}; 2]$.

Оценим знак нижней границы этого отрезка, $2 - \sqrt{3}$. Мы знаем, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$. Так как $1 < 3 < 4$, то, извлекая корень, получаем $1 < \sqrt{3} < 2$.

Это означает, что разность $2 - \sqrt{3}$ положительна, так как $2 - \sqrt{3} > 2 - 2 = 0$.

Поскольку наименьшее значение выражения $2 - \sqrt{3 - |x|}$ равно $2 - \sqrt{3}$ и оно положительно, то все значения этого выражения на его области определения неотрицательны.

По определению модуля, $|a| = a$, если $a \ge 0$. В нашем случае выражение под модулем всегда неотрицательно, поэтому знак модуля можно опустить:

$y = |2 - \sqrt{3 - |x|}| = 2 - \sqrt{3 - |x|}$.

Таким образом, данная функция полностью идентична функции из пункта а). Следовательно, все ее свойства, включая область значений и четность, совпадают.

Область значений функции: $E(y) = [2 - \sqrt{3}; 2]$.

Функция также является четной, так как $y(-x) = |2 - \sqrt{3 - |-x|}| = |2 - \sqrt{3 - |x|}| = y(x)$.

Ответ: Область определения функции $D(y) = [-3; 3]$. Область значений функции $E(y) = [2 - \sqrt{3}; 2]$. Функция является четной.