Номер 23, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

23. (2) Решите уравнения:

а) $ \frac{4x^2 - 7x - 2}{x^2 - 5x + 6} = 0 $;

б) $ \frac{x-2}{x+1} + \frac{4(x+1)}{x-2} = 5 $.

а) $\frac{4x^2 - 7x - 2}{x^2 - 5x + 6} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это равносильно системе:

$\begin{cases} 4x^2 - 7x - 2 = 0 \\ x^2 - 5x + 6 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим первое уравнение (числитель): $4x^2 - 7x - 2 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81$.

$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$.

2. Теперь найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, чтобы исключить их из решения (область допустимых значений, ОДЗ).

$x^2 - 5x + 6 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 5$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 6$.

Подбором находим корни: $x=2$ и $x=3$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq 3$.

3. Сравним корни числителя с ОДЗ.

Корень $x_1 = -\frac{1}{4}$ удовлетворяет условию $x \neq 2$ и $x \neq 3$.

Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет условию $x \neq 2$. Следовательно, это посторонний корень.

Единственным решением уравнения является $x = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$.

б) $\frac{x-2}{x+1} + \frac{4(x+1)}{x-2} = 5$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:

$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

$x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

Введем замену переменной, чтобы упростить уравнение. Пусть $t = \frac{x-2}{x+1}$.

Тогда второе слагаемое $\frac{4(x+1)}{x-2}$ можно записать как $4 \cdot \frac{1}{t}$ или $\frac{4}{t}$.

Уравнение принимает вид:

$t + \frac{4}{t} = 5$.

Умножим обе части уравнения на $t$, при условии, что $t \neq 0$. Если $t=0$, то $\frac{x-2}{x+1}=0$, откуда $x=2$, что не входит в ОДЗ. Значит $t \neq 0$.

$t^2 + 4 = 5t$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 5t + 4 = 0$.

Решим это уравнение относительно $t$. По теореме Виета:

Сумма корней: $t_1 + t_2 = 5$.

Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = 4$.

Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. Если $t=1$:

$\frac{x-2}{x+1} = 1$.

$x-2 = x+1$.

$-2 = 1$.

Это неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

2. Если $t=4$:

$\frac{x-2}{x+1} = 4$.

$x-2 = 4(x+1)$.

$x-2 = 4x + 4$.

$3x = -6$.

$x = -2$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = -2$ ОДЗ ($x \neq -1$ и $x \neq 2$). Да, удовлетворяет.

Ответ: $-2$.