Номер 18, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

18. (2) a)

$y=|-x^2+6x-8|;$

б)

$y=-x^2+6|x|-8;$

а) $y = |-x^2 + 6x - 8|$

Для построения графика функции вида $y = |f(x)|$ необходимо сначала построить график функции $f(x)$, а затем часть графика, расположенную ниже оси Ox (где $f(x) < 0$), симметрично отразить относительно этой оси. Часть графика, расположенная выше или на оси Ox (где $f(x) \ge 0$), остается без изменений.

1. Рассмотрим функцию, стоящую под знаком модуля: $f(x) = -x^2 + 6x - 8$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$. Ордината вершины: $y_в = f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 8 = -9 + 18 - 8 = 1$. Таким образом, вершина находится в точке $(3, 1)$.

3. Найдем точки пересечения параболы с осью Ox (нули функции), решив уравнение $-x^2 + 6x - 8 = 0$. Умножим обе части на -1, получим $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Точки пересечения с осью Ox: $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

4. Построив параболу $y = -x^2 + 6x - 8$, применим преобразование модуля. Парабола находится выше или на оси Ox на отрезке $[2, 4]$, поэтому эта часть графика остается на месте. Части параболы на интервалах $(-\infty, 2)$ и $(4, \infty)$ лежат ниже оси Ox, поэтому их следует симметрично отразить относительно оси Ox.

В результате отражения мы получим график, который на интервалах $(-\infty, 2) \cup (4, \infty)$ совпадает с графиком параболы $y = -(-x^2 + 6x - 8) = x^2 - 6x + 8$ (ветви вверх), а на отрезке $[2, 4]$ совпадает с частью параболы $y = -x^2 + 6x - 8$ (с вершиной в точке $(3,1)$).

Ответ: Сначала строится парабола $y = -x^2 + 6x - 8$. Затем та часть графика, которая находится под осью Ox, симметрично отражается относительно этой оси. Часть графика над осью Ox и на ней остается без изменений.

б) $y = -x^2 + 6|x| - 8$

Данная функция является четной, так как $y(-x) = -(-x)^2 + 6|-x| - 8 = -x^2 + 6|x| - 8 = y(x)$. График четной функции симметричен относительно оси Oy. Поэтому для построения графика достаточно построить его для $x \ge 0$ и затем симметрично отразить полученную часть относительно оси Oy.

1. Рассмотрим функцию при $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = -x^2 + 6x - 8$. Это парабола с ветвями вниз, вершиной в точке $(3, 1)$ и точками пересечения с осью Ox в $x=2$ и $x=4$. Точка пересечения с осью Oy — $(0, -8)$.

2. Строим часть этой параболы для $x \ge 0$. Она начинается в точке $(0, -8)$ на оси Oy, поднимается, пересекая ось Ox в точке $(2, 0)$, достигает локального максимума в вершине $(3, 1)$, затем опускается, пересекая ось Ox в точке $(4, 0)$, и далее уходит вниз.

3. Отражаем построенную "правую" часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить "левую" часть для $x < 0$. Вершина $(3, 1)$ отразится в точку $(-3, 1)$, которая также будет локальным максимумом. Точки пересечения с осью Ox $(2, 0)$ и $(4, 0)$ отразятся в точки $(-2, 0)$ и $(-4, 0)$ соответственно. Точка $(0, -8)$ останется на месте, так как она лежит на оси симметрии.

Итоговый график состоит из двух симметричных частей парабол: $y = -x^2 + 6x - 8$ при $x \ge 0$ и $y = -x^2 - 6x - 8$ при $x < 0$. Внешне он напоминает букву "М", вершина которой находится в точке $(0,-8)$.

Ответ: Сначала строится график параболы $y = -x^2 + 6x - 8$ только для неотрицательных значений $x$ (в правой полуплоскости, включая ось Oy). Затем построенная часть отражается симметрично относительно оси Oy, чтобы получить полный график.