Номер 21, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Ученики соревнуются в прыжках, причем каждый прыгает 5 раз. Судьи оценивают правильность каждого прыжка целым количеством баллов от 1 до 20, но в окончательном подсчете участнику засчитывают 4 его лучших прыжка. За 5 прыжков Данияр набрал 72 балла. Какой наименьший результат может получиться у него при окончательном подсчете?

Пусть оценки Данияра за 5 прыжков равны $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$. Сумма всех оценок по условию составляет 72 балла:

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 72$

Каждая оценка $x_i$ является целым числом в диапазоне от 1 до 20.

В окончательный результат засчитывают 4 лучших прыжка. Это означает, что худший прыжок не учитывается. Итоговый результат — это сумма всех пяти оценок минус оценка за худший прыжок.

Чтобы итоговый результат был наименьшим, вычитаемая оценка за худший прыжок должна быть наибольшей.

Обозначим оценки, упорядоченные по возрастанию, как $x_{(1)} \le x_{(2)} \le x_{(3)} \le x_{(4)} \le x_{(5)}$. В этом случае $x_{(1)}$ — это оценка за худший прыжок.

Итоговый результат $S$ равен:

$S = x_{(2)} + x_{(3)} + x_{(4)} + x_{(5)} = (x_{(1)} + x_{(2)} + x_{(3)} + x_{(4)} + x_{(5)}) - x_{(1)} = 72 - x_{(1)}$

Чтобы минимизировать $S$, нам нужно максимизировать $x_{(1)}$.

Поскольку $x_{(1)}$ является наименьшей оценкой, то каждая из пяти оценок не меньше $x_{(1)}$. Следовательно, их сумма не может быть меньше, чем $5 \cdot x_{(1)}$:

$x_{(1)} + x_{(2)} + x_{(3)} + x_{(4)} + x_{(5)} \ge 5 \cdot x_{(1)}$

Подставим известную сумму:

$72 \ge 5 \cdot x_{(1)}$

Отсюда найдем максимальное значение для $x_{(1)}$:

$x_{(1)} \le \frac{72}{5}$

$x_{(1)} \le 14.4$

Так как оценка должна быть целым числом, максимальное возможное значение для худшей оценки $x_{(1)}$ равно 14.

Проверим, возможна ли такая ситуация. Если худшая оценка равна 14, то сумма четырех лучших оценок должна быть $72 - 14 = 58$. При этом каждая из этих четырех оценок должна быть не меньше 14 и не больше 20. Например, такой набор оценок возможен: {14, 14, 14, 15, 15}. Сумма всех пяти оценок равна $14 + 14 + 14 + 15 + 15 = 72$. Все условия выполнены.

Итак, максимальное значение худшей оценки равно 14. Тогда наименьший возможный итоговый результат равен:

$S_{мин} = 72 - 14 = 58$

Ответ: 58