Номер 3, страница 77, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 3

Найдите косинусы и синусы углов $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 4\pi$, используя результаты упражнения 2.

Оси $Ox$ и $Oy$ разбивают всю координатную плоскость на четыре области, которые называются четвертями или квадрантами. Каждая четверть имеет свой фиксированный номер (см. рис. 6).

Если $M_x$ является внутренней точкой I четверти, то говорят, что угол $x$ является углом I четверти. Аналогично определяются углы II, III и IV четвертей.

Для нахождения синусов и косинусов указанных углов воспользуемся определением этих тригонометрических функций через единичную окружность. Координаты $(x, y)$ точки на единичной окружности, соответствующей углу поворота $\alpha$, равны косинусу и синусу этого угла соответственно: $x = \cos(\alpha)$, $y = \sin(\alpha)$. Предполагается, что это и есть результат упражнения 2.

Угол 0
Угол в 0 радиан соответствует точке на единичной окружности, которая находится на пересечении с положительным направлением оси Ox. Координаты этой точки — $(1, 0)$.
Следовательно, $x = \cos(0) = 1$ и $y = \sin(0) = 0$.
Ответ: $\cos(0) = 1$, $\sin(0) = 0$.

Угол $\frac{\pi}{2}$
Угол в $\frac{\pi}{2}$ радиан (или 90°) соответствует точке на единичной окружности, которая находится на пересечении с положительным направлением оси Oy. Координаты этой точки — $(0, 1)$.
Следовательно, $x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Ответ: $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Угол $\pi$
Угол в $\pi$ радиан (или 180°) соответствует точке на единичной окружности, которая находится на пересечении с отрицательным направлением оси Ox. Координаты этой точки — $(-1, 0)$.
Следовательно, $x = \cos(\pi) = -1$ и $y = \sin(\pi) = 0$.
Ответ: $\cos(\pi) = -1$, $\sin(\pi) = 0$.

Угол $\frac{3\pi}{2}$
Угол в $\frac{3\pi}{2}$ радиан (или 270°) соответствует точке на единичной окружности, которая находится на пересечении с отрицательным направлением оси Oy. Координаты этой точки — $(0, -1)$.
Следовательно, $x = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$ и $y = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.
Ответ: $\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$, $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.

Угол $4\pi$
Угол в $4\pi$ радиан соответствует двум полным оборотам по окружности, так как $4\pi = 2 \cdot 2\pi$. Таким образом, этому углу соответствует та же точка, что и углу 0. Координаты этой точки — $(1, 0)$.
Следовательно, $x = \cos(4\pi) = 1$ и $y = \sin(4\pi) = 0$.
Ответ: $\cos(4\pi) = 1$, $\sin(4\pi) = 0$.