Страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение 3

Найдите косинусы и синусы углов $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 4\pi$, используя результаты упражнения 2.

Оси $Ox$ и $Oy$ разбивают всю координатную плоскость на четыре области, которые называются четвертями или квадрантами. Каждая четверть имеет свой фиксированный номер (см. рис. 6).

Если $M_x$ является внутренней точкой I четверти, то говорят, что угол $x$ является углом I четверти. Аналогично определяются углы II, III и IV четвертей.

Для нахождения синусов и косинусов указанных углов воспользуемся определением этих тригонометрических функций через единичную окружность. Координаты $(x, y)$ точки на единичной окружности, соответствующей углу поворота $\alpha$, равны косинусу и синусу этого угла соответственно: $x = \cos(\alpha)$, $y = \sin(\alpha)$. Предполагается, что это и есть результат упражнения 2.

Угол 0
Угол в 0 радиан соответствует точке на единичной окружности, которая находится на пересечении с положительным направлением оси Ox. Координаты этой точки — $(1, 0)$.
Следовательно, $x = \cos(0) = 1$ и $y = \sin(0) = 0$.
Ответ: $\cos(0) = 1$, $\sin(0) = 0$.

Угол $\frac{\pi}{2}$
Угол в $\frac{\pi}{2}$ радиан (или 90°) соответствует точке на единичной окружности, которая находится на пересечении с положительным направлением оси Oy. Координаты этой точки — $(0, 1)$.
Следовательно, $x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Ответ: $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Угол $\pi$
Угол в $\pi$ радиан (или 180°) соответствует точке на единичной окружности, которая находится на пересечении с отрицательным направлением оси Ox. Координаты этой точки — $(-1, 0)$.
Следовательно, $x = \cos(\pi) = -1$ и $y = \sin(\pi) = 0$.
Ответ: $\cos(\pi) = -1$, $\sin(\pi) = 0$.

Угол $\frac{3\pi}{2}$
Угол в $\frac{3\pi}{2}$ радиан (или 270°) соответствует точке на единичной окружности, которая находится на пересечении с отрицательным направлением оси Oy. Координаты этой точки — $(0, -1)$.
Следовательно, $x = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$ и $y = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.
Ответ: $\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$, $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.

Угол $4\pi$
Угол в $4\pi$ радиан соответствует двум полным оборотам по окружности, так как $4\pi = 2 \cdot 2\pi$. Таким образом, этому углу соответствует та же точка, что и углу 0. Координаты этой точки — $(1, 0)$.
Следовательно, $x = \cos(4\pi) = 1$ и $y = \sin(4\pi) = 0$.
Ответ: $\cos(4\pi) = 1$, $\sin(4\pi) = 0$.

Определите знаки синусов и косинусов углов в зависимости от того, углами какой четверти они являются, используя тригонометрическую окружность.

Материал данного и следующего параграфов чрезвычайно важен для понимания всей тригонометрии. Практически все свойства тригонометрических функций видны как на ладони, необходимо только разобраться с тригонометрической окружностью. Запомните: круг – наш друг.

Рис. 6

Рассмотрим на координатной плоскости с тригонометрической окружностью дополнительную числовую ось, параллельную оси $Oy$. Единица измерения на этой оси равна единице измерения координатной плоскости. Эта ось называется осью тангенсов. Рисунок 7 показывает, как «работает» ось тангенсов. Через точку $M_x$ и начало координат проводится прямая до пересечения с осью тангенсов. Ось тангенсов – числовая, и поэтому точка пересечения соответствует некоторому числу, которое и называется тангенсом угла $x$ и обозначается $\operatorname{tg} x$.

Для определения знаков синуса и косинуса воспользуемся тригонометрической окружностью. Это окружность с радиусом, равным единице ($r=1$), и центром в начале координат. По определению, для любого угла $\alpha$, которому соответствует точка $P(x,y)$ на окружности, её координаты равны косинусу и синусу этого угла: $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$. Таким образом, знак косинуса совпадает со знаком абсциссы ($x$), а знак синуса — со знаком ординаты ($y$). Координатная плоскость разделена на четыре четверти, в каждой из которых знаки координат постоянны.

I четверть

В этой четверти углы находятся в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$ (или от $0$ до $\frac{\pi}{2}$ радиан). Здесь абсцисса ($x$) и ордината ($y$) любой точки положительны. Так как $x > 0$ и $y > 0$, то и $\cos(\alpha) > 0$, и $\sin(\alpha) > 0$.
Ответ: синус — положительный, косинус — положительный.

II четверть

В этой четверти углы находятся в диапазоне от $90^\circ$ до $180^\circ$ (или от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ радиан). Здесь абсцисса ($x$) отрицательна, а ордината ($y$) положительна. Так как $x < 0$ и $y > 0$, то $\cos(\alpha) < 0$, а $\sin(\alpha) > 0$.
Ответ: синус — положительный, косинус — отрицательный.

III четверть

В этой четверти углы находятся в диапазоне от $180^\circ$ до $270^\circ$ (или от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$ радиан). Здесь и абсцисса ($x$), и ордината ($y$) отрицательны. Так как $x < 0$ и $y < 0$, то и $\cos(\alpha) < 0$, и $\sin(\alpha) < 0$.
Ответ: синус — отрицательный, косинус — отрицательный.

IV четверть

В этой четверти углы находятся в диапазоне от $270^\circ$ до $360^\circ$ (или от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$ радиан). Здесь абсцисса ($x$) положительна, а ордината ($y$) отрицательна. Так как $x > 0$ и $y < 0$, то $\cos(\alpha) > 0$, а $\sin(\alpha) < 0$.
Ответ: синус — отрицательный, косинус — положительный.

Упражнение 1

Построить на одной плоскости графики линейных функций $y = kx + m$:

$y = 0x + 3$, $y = \frac{1}{2}x - 3$, $y = 2x$, $y = 3x - 1$, $y = 7x - 5$, $y = -\frac{1}{2}x - 3$, $y = -2x$,

$y = -3x - 1$, $y = -7x - 5$.

Графики с положительными и отрицательными значениями коэффициента $k$ изобразить различными цветами. Какие выводы можно сделать о монотонности линейной функции в зависимости от знака $k$?

Построить на одной плоскости графики линейных функций y=kx+m и изобразить их различными цветами в зависимости от знака k

Для построения графика линейной функции $y=kx+m$, который представляет собой прямую линию, необходимо найти координаты двух точек, через которые проходит эта прямая. Разделим заданные функции на группы в зависимости от знака углового коэффициента $k$.

Группа 1: Функции с положительным коэффициентом ($k > 0$).

Графики этих функций являются возрастающими. Согласно условию, изобразим их одним цветом (например, синим).

• Для $y = \frac{1}{2}x - 3$ ($k=\frac{1}{2}$):
Если $x=0$, то $y = \frac{1}{2} \cdot 0 - 3 = -3$. Точка (0; -3).
Если $x=4$, то $y = \frac{1}{2} \cdot 4 - 3 = 2 - 3 = -1$. Точка (4; -1).

• Для $y = 2x$ ($k=2$):
Если $x=0$, то $y = 2 \cdot 0 = 0$. Точка (0; 0).
Если $x=1$, то $y = 2 \cdot 1 = 2$. Точка (1; 2).

• Для $y = 3x - 1$ ($k=3$):
Если $x=0$, то $y = 3 \cdot 0 - 1 = -1$. Точка (0; -1).
Если $x=1$, то $y = 3 \cdot 1 - 1 = 2$. Точка (1; 2).

• Для $y = 7x - 5$ ($k=7$):
Если $x=0$, то $y = 7 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка (0; -5).
Если $x=1$, то $y = 7 \cdot 1 - 5 = 2$. Точка (1; 2).

Группа 2: Функции с отрицательным коэффициентом ($k < 0$).

Графики этих функций являются убывающими. Изобразим их другим цветом (например, красным).

• Для $y = -\frac{1}{2}x - 3$ ($k=-\frac{1}{2}$):
Если $x=0$, то $y = -\frac{1}{2} \cdot 0 - 3 = -3$. Точка (0; -3).
Если $x=-2$, то $y = -\frac{1}{2} \cdot (-2) - 3 = 1 - 3 = -2$. Точка (-2; -2).

• Для $y = -2x$ ($k=-2$):
Если $x=0$, то $y = -2 \cdot 0 = 0$. Точка (0; 0).
Если $x=1$, то $y = -2 \cdot 1 = -2$. Точка (1; -2).

• Для $y = -3x - 1$ ($k=-3$):
Если $x=0$, то $y = -3 \cdot 0 - 1 = -1$. Точка (0; -1).
Если $x=-1$, то $y = -3 \cdot (-1) - 1 = 3 - 1 = 2$. Точка (-1; 2).

• Для $y = -7x - 5$ ($k=-7$):
Если $x=0$, то $y = -7 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка (0; -5).
Если $x=-1$, то $y = -7 \cdot (-1) - 5 = 7 - 5 = 2$. Точка (-1; 2).

Группа 3: Функция с нулевым коэффициентом ($k = 0$).

График этой функции — прямая, параллельная оси абсцисс. Ее можно изобразить третьим цветом (например, черным).

• Для $y = 0x + 3$, что упрощается до $y=3$ ($k=0$):
Для любого значения $x$ значение $y$ будет равно 3. Возьмем точки (0; 3) и (2; 3).

Ответ: Для построения графиков нужно начертить систему координат, отметить для каждой функции найденные две точки и провести через них прямую линию, используя разные цвета для групп с $k>0$ и $k<0$.

Какие выводы можно сделать о монотонности линейной функции в зависимости от знака k?

Монотонность (характер возрастания или убывания) линейной функции $y=kx+m$ полностью определяется знаком ее углового коэффициента $k$. На основе построенных графиков можно сформулировать следующие правила:

1. Если коэффициент $k > 0$, то линейная функция возрастает на всей области определения. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. График такой функции при движении слева направо направлен вверх.

2. Если коэффициент $k < 0$, то линейная функция убывает на всей области определения. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$. График такой функции при движении слева направо направлен вниз.

3. Если коэффициент $k = 0$, то функция является постоянной. Значение функции не изменяется и всегда равно $m$. График такой функции — это горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$.

Ответ: Монотонность линейной функции определяется знаком коэффициента $k$: если $k>0$, функция возрастает; если $k<0$, функция убывает; если $k=0$, функция постоянна.

Упражнение 2

На рисунке 1 изображен график некоторой функции $y = f(x)$.

Рис. 1

Напоминаем, что если достаточно маленький участок графика, содержащий точку с абсциссой $x$, похож на отрезок прямой, то говорят, что $f(x)$ имеет производную в точке $x$, и значение производной равно угловому коэффициенту $k$ касательной в этой точке. В противном случае считаем, что в точке $x$ не существует производной (например, в точках «излома» $x=-3$ и $x=7$).

а) Постепенно увеличивая значение $x$ от $-5$ до $9$, проследить за знаком коэффициента $k$ касательной в соответствующей точке графика. На отдельной числовой оси изобразить знаки производной $f'(x)$.

б) Найти интервалы возрастания и интервалы убывания функции $f(x)$.

Каким образом связаны между собой результаты а) и б) ? В чем причина?

в) Чему равны $k$ и $f'(x)$ в точках $x = -1, x = 3$?

Пусть $y = kx + m$ – линейная функция и $k > 0$. Если $x_1 > x_2$ – произвольные числа, то

$y_1 - y_2 = (kx_1 + m) - (kx_2 + m) = k(x_1 - x_2) > 0, y_1 > y_2$.

Большему значению аргумента соответствует большее значение линейной функции (рис. 2).

Следовательно, если $k > 0$, то функция $y=kx+m$ – строго возрастающая. Аналогично доказывается, что если $k<0$, то функция $y=kx+m$ – строго убывающая.

Рис. 2

а) Значение производной $f'(x)$ в каждой точке равно угловому коэффициенту $k$ касательной, проведенной к графику функции $f(x)$ в этой точке. Знак коэффициента $k$ (а значит, и знак производной) определяется по поведению функции: если функция возрастает, то $k > 0$, если убывает — $k < 0$. Проанализируем график, двигаясь по оси $x$ от $-5$ до $9$.
- На интервале $(-5, -3)$ функция $f(x)$ возрастает (график идет вверх), следовательно, угловой коэффициент касательной $k$ положителен, и $f'(x) > 0$.
- В точке $x=-3$ график имеет излом (острый пик). В таких точках касательную провести нельзя, и производная не существует.
- На интервале $(-3, -1)$ функция $f(x)$ убывает (график идет вниз), следовательно, $k < 0$ и $f'(x) < 0$.
- В точке $x=-1$ находится локальный минимум. Касательная к графику в этой точке горизонтальна, ее угловой коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(-1) = 0$.
- На интервале $(-1, 3)$ функция $f(x)$ возрастает, следовательно, $k > 0$ и $f'(x) > 0$.
- В точке $x=3$ находится локальный максимум. Касательная в этой точке также горизонтальна, ее угловой коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(3) = 0$.
- На интервале $(3, 7)$ функция $f(x)$ убывает, следовательно, $k < 0$ и $f'(x) < 0$.
- В точке $x=7$ график имеет излом, поэтому производная в этой точке не существует.
- На интервале $(7, 9)$ функция $f(x)$ возрастает, следовательно, $k > 0$ и $f'(x) > 0$.
На числовой оси знаки производной $f'(x)$ будут чередоваться следующим образом: плюс на интервале $(-5, -3)$, минус на $(-3, -1)$, плюс на $(-1, 3)$, минус на $(3, 7)$ и плюс на $(7, 9)$. В точках $x=-3$ и $x=7$ производная не определена, а в точках $x=-1$ и $x=3$ она равна нулю.
Ответ: Производная $f'(x)$ положительна на интервалах $(-5, -3) \cup (-1, 3) \cup (7, 9)$; отрицательна на интервалах $(-3, -1) \cup (3, 7)$; равна нулю в точках $x=-1$ и $x=3$; не существует в точках $x=-3$ и $x=7$.

б) Интервалы возрастания и убывания функции $f(x)$ определяются визуально по графику.
- Функция возрастает там, где ее график направлен вверх при движении слева направо. Интервалы возрастания: $(-5, -3)$, $(-1, 3)$ и $(7, 9)$.
- Функция убывает там, где ее график направлен вниз при движении слева направо. Интервалы убывания: $(-3, -1)$ и $(3, 7)$.
Связь между результатами пунктов а) и б) является фундаментальным свойством дифференцируемых функций:
- Функция $f(x)$ возрастает на тех интервалах, где ее производная $f'(x)$ положительна.
- Функция $f(x)$ убывает на тех интервалах, где ее производная $f'(x)$ отрицательна.
Причина этой связи заключается в том, что производная $f'(x)$ представляет собой мгновенную скорость изменения функции. Если скорость положительна ($f'(x)>0$), то значения функции увеличиваются, то есть функция возрастает. Если же скорость отрицательна ($f'(x)<0$), значения функции уменьшаются, и функция убывает. Это объясняется тем, что поведение функции в малой окрестности точки приближается поведением ее касательной, а наклон касательной ($k = f'(x)$) и определяет, возрастает или убывает линейная функция, как это показано в условии на Рис. 2.
Ответ: Интервалы возрастания: $(-5, -3)$, $(-1, 3)$, $(7, 9)$. Интервалы убывания: $(-3, -1)$, $(3, 7)$. Связь: функция возрастает, когда ее производная положительна, и убывает, когда ее производная отрицательна. Причина: знак производной определяет направление изменения функции (положительная производная — рост, отрицательная — убывание).

в) В точках $x=-1$ и $x=3$ находятся точки локальных экстремумов функции (минимум и максимум соответственно). В этих точках график функции гладкий, без изломов, и касательная к нему является горизонтальной прямой.
Угловой коэффициент $k$ любой горизонтальной прямой равен нулю.
Поскольку значение производной $f'(x)$ в точке по определению равно угловому коэффициенту $k$ касательной, проведенной в этой точке, то:
- в точке $x=-1$ имеем $k=0$, следовательно, $f'(-1)=0$.
- в точке $x=3$ имеем $k=0$, следовательно, $f'(3)=0$.
Ответ: В точках $x=-1$ и $x=3$ угловой коэффициент касательной $k$ и значение производной $f'(x)$ равны нулю: $k=0$ и $f'(x)=0$.