Страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение 1

Постройте график функции $y = \cos x$.

Для построения графика функции $y = \cos x$, который называется косинусоидой, необходимо выполнить несколько шагов: изучить свойства функции, найти координаты опорных точек, а затем нанести их на координатную плоскость и соединить плавной линией.

1. Основные свойства функции $y = \cos x$

- Область определения: Функция определена для всех действительных чисел $x$. Записывается как $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Область значений: Все значения функции лежат в отрезке от -1 до 1. Записывается как $E(y) = [-1; 1]$.

- Периодичность: Функция является периодической с наименьшим положительным периодом $T = 2\pi$. Это означает, что вид графика повторяется через каждый интервал длиной $2\pi$, то есть $\cos(x + 2\pi k) = \cos x$ для любого целого $k$. Поэтому достаточно построить график на любом отрезке длиной $2\pi$, например $[-\pi; \pi]$, и затем продолжить его.

- Четность: Функция является четной, поскольку выполняется равенство $\cos(-x) = \cos x$. Это свойство означает, что график функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

- Нули функции: Функция обращается в ноль ($y=0$) в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.

- Экстремумы функции:
Максимумы, равные 1, достигаются в точках $x = 2\pi n$.
Минимумы, равные -1, достигаются в точках $x = \pi + 2\pi n$.

2. Опорные точки для построения

Используя свойство четности, достаточно найти точки для $x \ge 0$ на одном полупериоде, например, на отрезке $[0; \pi]$, а затем симметрично отразить их относительно оси Oy.

- при $x = 0$, $y = \cos(0) = 1$; Точка $(0, 1)$.
- при $x = \frac{\pi}{3}$, $y = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$; Точка $(\frac{\pi}{3}, 0.5)$.
- при $x = \frac{\pi}{2}$, $y = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$; Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$.
- при $x = \frac{2\pi}{3}$, $y = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$; Точка $(\frac{2\pi}{3}, -0.5)$.
- при $x = \pi$, $y = \cos(\pi) = -1$; Точка $(\pi, -1)$.

3. Построение графика

1. Начертим координатные оси Ox и Oy. На оси Ox отметим точки $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$ и т.д., а также симметричные им отрицательные значения. На оси Oy отметим значения 1 и -1.
2. Нанесем на плоскость опорные точки, вычисленные выше, и симметричные им.
3. Соединим точки плавной, непрерывной кривой.
4. Повторим полученный фрагмент графика на всей числовой оси с периодом $2\pi$.

Ответ:
Ниже представлен график функции $y=\cos x$.

1. (2) Для следующих функций определите интервалы монотонности:

а) $f(x)=-5x+4$;

б) $g(x)=3x^2-12x+11$;

в) $h(x)=-\frac{x^3}{3}-\frac{7x^2}{2}+8x+\cos\frac{\pi}{3}$.

а) Для нахождения интервалов монотонности функции $f(x) = -5x + 4$ найдем ее производную.

Производная функции: $f'(x) = (-5x + 4)' = -5$.

Так как производная $f'(x) = -5$ отрицательна при любом значении $x$, функция является убывающей на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на интервале $(-\infty, +\infty)$.

б) Для нахождения интервалов монотонности функции $g(x) = 3x^2 - 12x + 11$ найдем ее производную.

Производная функции: $g'(x) = (3x^2 - 12x + 11)' = 6x - 12$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $g'(x) = 0$.

$6x - 12 = 0$

$6x = 12$

$x = 2$

Критическая точка $x=2$ делит числовую ось на два интервала: $(-\infty, 2)$ и $(2, +\infty)$.

Определим знак производной на каждом интервале:

При $x < 2$ (например, $x=0$), $g'(0) = 6(0) - 12 = -12 < 0$. Следовательно, на интервале $(-\infty, 2)$ функция убывает.

При $x > 2$ (например, $x=3$), $g'(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0$. Следовательно, на интервале $(2, +\infty)$ функция возрастает.

Ответ: функция убывает на интервале $(-\infty, 2]$ и возрастает на интервале $[2, +\infty)$.

в) Для нахождения интервалов монотонности функции $h(x) = -\frac{x^3}{3} - \frac{7x^2}{2} + 8x + \cos{\frac{\pi}{3}}$ найдем ее производную. Заметим, что $\cos{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2}$ является константой, и ее производная равна нулю.

Производная функции: $h'(x) = (-\frac{x^3}{3} - \frac{7x^2}{2} + 8x + \cos{\frac{\pi}{3}})' = -\frac{3x^2}{3} - \frac{7 \cdot 2x}{2} + 8 = -x^2 - 7x + 8$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $h'(x) = 0$.

$-x^2 - 7x + 8 = 0$

$x^2 + 7x - 8 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -7, а их произведение равно -8. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -8$.

Критические точки $x=-8$ и $x=1$ делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -8)$, $(-8, 1)$ и $(1, +\infty)$.

Определим знак производной $h'(x) = -x^2 - 7x + 8$ на каждом интервале. Графиком производной является парабола с ветвями, направленными вниз.

На интервале $(-\infty, -8)$ производная отрицательна ($h'(-10) = -(-10)^2 - 7(-10) + 8 = -100 + 70 + 8 = -22 < 0$), следовательно, функция убывает.

На интервале $(-8, 1)$ производная положительна ($h'(0) = -(0)^2 - 7(0) + 8 = 8 > 0$), следовательно, функция возрастает.

На интервале $(1, +\infty)$ производная отрицательна ($h'(2) = -(2)^2 - 7(2) + 8 = -4 - 14 + 8 = -10 < 0$), следовательно, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на интервале $[-8, 1]$ и убывает на интервалах $(-\infty, -8]$ и $[1, +\infty)$.

2. (2) Определите интервалы возрастания и интервалы убывания функций:

a) $f(x) = -x^4 + 3x^3 - 9;$

б) $g(x) = 3x^5 - 20x^3 + 87;$

в) $h(x) = \frac{(x-2)^3}{x}.$

а)Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции $f(x) = -x^4 + 3x^3 - 9$ найдем ее производную.
Область определения функции - все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
$f'(x) = (-x^4 + 3x^3 - 9)' = -4x^3 + 9x^2$.
Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$-4x^3 + 9x^2 = 0$
$x^2(-4x + 9) = 0$
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{9}{4} = 2.25$.
Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; \frac{9}{4})$ и $(\frac{9}{4}; +\infty)$.
Определим знак производной на каждом из этих интервалов:
1. Интервал $(-\infty; 0)$: возьмем пробную точку $x = -1$.
$f'(-1) = -4(-1)^3 + 9(-1)^2 = 4 + 9 = 13 > 0$. Функция возрастает.
2. Интервал $(0; \frac{9}{4})$: возьмем пробную точку $x = 1$.
$f'(1) = -4(1)^3 + 9(1)^2 = -4 + 9 = 5 > 0$. Функция возрастает.
3. Интервал $(\frac{9}{4}; +\infty)$: возьмем пробную точку $x = 3$.
$f'(3) = -4(3)^3 + 9(3)^2 = -4(27) + 9(9) = -108 + 81 = -27 < 0$. Функция убывает.
Поскольку функция возрастает на интервалах $(-\infty; 0]$ и $[0; \frac{9}{4}]$, она возрастает на их объединении.
Ответ: функция возрастает на интервале $(-\infty; \frac{9}{4}]$ и убывает на интервале $[\frac{9}{4}; +\infty)$.

б)Найдем интервалы возрастания и убывания для функции $g(x) = 3x^5 - 20x^3 + 87$.
Область определения функции - все действительные числа, $D(g) = (-\infty; +\infty)$.
Найдем производную функции:
$g'(x) = (3x^5 - 20x^3 + 87)' = 15x^4 - 60x^2$.
Найдем критические точки, решив уравнение $g'(x) = 0$:
$15x^4 - 60x^2 = 0$
$15x^2(x^2 - 4) = 0$
$15x^2(x-2)(x+2) = 0$
Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.
Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Определим знак производной на каждом интервале:
1. Интервал $(-\infty; -2)$: возьмем $x = -3$.
$g'(-3) = 15(-3)^2((-3)^2 - 4) = 15 \cdot 9 \cdot (9-4) > 0$. Функция возрастает.
2. Интервал $(-2; 0)$: возьмем $x = -1$.
$g'(-1) = 15(-1)^2((-1)^2 - 4) = 15 \cdot 1 \cdot (1-4) < 0$. Функция убывает.
3. Интервал $(0; 2)$: возьмем $x = 1$.
$g'(1) = 15(1)^2(1^2 - 4) = 15 \cdot 1 \cdot (1-4) < 0$. Функция убывает.
4. Интервал $(2; +\infty)$: возьмем $x = 3$.
$g'(3) = 15(3)^2(3^2 - 4) = 15 \cdot 9 \cdot (9-4) > 0$. Функция возрастает.
Объединяем интервалы убывания.
Ответ: функция возрастает на интервалах $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$, убывает на интервале $[-2; 2]$.

в)Найдем интервалы возрастания и убывания для функции $h(x) = \frac{(x-2)^3}{x}$.
Область определения функции: $x \neq 0$, то есть $D(h) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$h'(x) = \frac{((x-2)^3)' \cdot x - (x-2)^3 \cdot (x)'}{x^2} = \frac{3(x-2)^2 \cdot 1 \cdot x - (x-2)^3 \cdot 1}{x^2}$
$h'(x) = \frac{3x(x-2)^2 - (x-2)^3}{x^2} = \frac{(x-2)^2(3x - (x-2))}{x^2}$
$h'(x) = \frac{(x-2)^2(2x+2)}{x^2} = \frac{2(x-2)^2(x+1)}{x^2}$.
Найдем критические точки. Производная равна нулю, если числитель равен нулю:
$2(x-2)^2(x+1) = 0$
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$.
Производная не определена при $x=0$, что совпадает с ограничением области определения.
Точки $x = -1$, $x = 0$, $x = 2$ разбивают область определения на интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Определим знак производной. Знаменатель $x^2$ и множитель $(x-2)^2$ всегда неотрицательны, поэтому знак $h'(x)$ зависит только от знака множителя $(x+1)$.
1. Интервал $(-\infty; -1)$: $x+1 < 0 \implies h'(x) < 0$. Функция убывает.
2. Интервал $(-1; 0)$: $x+1 > 0 \implies h'(x) > 0$. Функция возрастает.
3. Интервал $(0; 2)$: $x+1 > 0 \implies h'(x) > 0$. Функция возрастает.
4. Интервал $(2; +\infty)$: $x+1 > 0 \implies h'(x) > 0$. Функция возрастает.
Объединяем интервалы возрастания.
Ответ: функция убывает на интервале $(-\infty; -1]$ и возрастает на интервалах $[-1; 0)$ и $(0; +\infty)$.

3. (2) Исследуйте на монотонность функции:

а) $f(x)=\sqrt{6x+24}$;

б) $g(x)=\sqrt{x^2-4}$;

в) $h(x)=x\sqrt{1-x^2}$;

г) $u(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2}}$.

а) $f(x) = \sqrt{6x + 24}$

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:$6x + 24 \ge 0$$6x \ge -24$$x \ge -4$Область определения $D(f) = [-4, +\infty)$.

2. Найдем производную функции:$f'(x) = (\sqrt{6x + 24})' = \frac{1}{2\sqrt{6x + 24}} \cdot (6x + 24)' = \frac{6}{2\sqrt{6x + 24}} = \frac{3}{\sqrt{6x + 24}}$.

3. Определим знак производной. Производная определена для всех $x > -4$.Числитель дроби равен 3 (положительное число).Знаменатель $\sqrt{6x + 24}$ также всегда положителен при $x > -4$.Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x$ из интервала $(-4, +\infty)$.

4. Так как производная функции положительна на всей области определения (кроме точки $x=-4$, где она не определена, но функция непрерывна), функция является возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-4, +\infty)$.

б) $g(x) = \sqrt{x^2 - 4}$

1. Найдем область определения функции:$x^2 - 4 \ge 0$$(x-2)(x+2) \ge 0$Это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.Область определения $D(g) = (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.

2. Найдем производную функции:$g'(x) = (\sqrt{x^2 - 4})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 4}} \cdot (x^2 - 4)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 4}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 4}}$.

3. Определим знак производной. Производная определена при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.Знаменатель $\sqrt{x^2 - 4}$ всегда положителен.Знак производной $g'(x)$ совпадает со знаком числителя $x$.- При $x > 2$, $g'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.- При $x < -2$, $g'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

4. Учитывая непрерывность функции в точках $x=-2$ и $x=2$, получаем промежутки монотонности.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, -2]$ и возрастает на промежутке $[2, +\infty)$.

в) $h(x) = x\sqrt{1 - x^2}$

1. Найдем область определения функции:$1 - x^2 \ge 0$$x^2 \le 1$$-1 \le x \le 1$Область определения $D(h) = [-1, 1]$.

2. Найдем производную функции, используя правило произведения:$h'(x) = (x)'\sqrt{1 - x^2} + x(\sqrt{1 - x^2})' = 1 \cdot \sqrt{1 - x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = \sqrt{1 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$$h'(x) = \frac{1 - x^2 - x^2}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1 - 2x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$.

3. Определим знак производной. Производная определена при $x \in (-1, 1)$.Знаменатель $\sqrt{1 - x^2}$ положителен на этом интервале.Знак $h'(x)$ совпадает со знаком числителя $1 - 2x^2$.Найдем нули числителя: $1 - 2x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1/2 \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.Эти точки разбивают интервал $(-1, 1)$ на три части:- При $x \in (-1, -\frac{\sqrt{2}}{2})$, $h'(x) < 0$, функция убывает.- При $x \in (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, $h'(x) > 0$, функция возрастает.- При $x \in (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$, $h'(x) < 0$, функция убывает.

4. Учитывая непрерывность функции на отрезке $[-1, 1]$, получаем промежутки монотонности.

Ответ: функция убывает на промежутках $[-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}]$ и $[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$, возрастает на промежутке $[-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$.

г) $u(x) = \frac{x-1}{\sqrt{x^2-2}}$

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:$x^2 - 2 > 0$$x^2 > 2$$x < -\sqrt{2}$ или $x > \sqrt{2}$.Область определения $D(u) = (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty)$.

2. Найдем производную функции, используя правило частного:$u'(x) = \frac{(x-1)'\sqrt{x^2-2} - (x-1)(\sqrt{x^2-2})'}{(\sqrt{x^2-2})^2} = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2-2} - (x-1) \frac{x}{\sqrt{x^2-2}}}{x^2-2}$$u'(x) = \frac{\frac{x^2-2 - x(x-1)}{\sqrt{x^2-2}}}{x^2-2} = \frac{x^2-2 - x^2+x}{(x^2-2)\sqrt{x^2-2}} = \frac{x-2}{(x^2-2)^{3/2}}$.

3. Определим знак производной. Производная определена на всей области определения функции.Знаменатель $(x^2-2)^{3/2}$ всегда положителен.Знак $u'(x)$ совпадает со знаком числителя $x-2$.Нуль числителя: $x-2 = 0 \Rightarrow x=2$. Эта точка принадлежит области определения, так как $2 > \sqrt{2}$.- При $x > 2$, $u'(x) > 0$, функция возрастает.- При $x < 2$ (и в пределах области определения), $u'(x) < 0$, функция убывает.

4. Разобьем область определения точкой $x=2$:- На интервале $(-\infty, -\sqrt{2})$, $x < 2$, поэтому $u'(x) < 0$ и функция убывает.- На интервале $(\sqrt{2}, 2)$, $x < 2$, поэтому $u'(x) < 0$ и функция убывает.- На интервале $(2, +\infty)$, $x > 2$, поэтому $u'(x) > 0$ и функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -\sqrt{2})$ и $(\sqrt{2}, 2]$, возрастает на промежутке $[2, +\infty)$.