Номер 1, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

1. (2) Для следующих функций определите интервалы монотонности:

а) $f(x)=-5x+4$;

б) $g(x)=3x^2-12x+11$;

в) $h(x)=-\frac{x^3}{3}-\frac{7x^2}{2}+8x+\cos\frac{\pi}{3}$.

а) Для нахождения интервалов монотонности функции $f(x) = -5x + 4$ найдем ее производную.

Производная функции: $f'(x) = (-5x + 4)' = -5$.

Так как производная $f'(x) = -5$ отрицательна при любом значении $x$, функция является убывающей на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на интервале $(-\infty, +\infty)$.

б) Для нахождения интервалов монотонности функции $g(x) = 3x^2 - 12x + 11$ найдем ее производную.

Производная функции: $g'(x) = (3x^2 - 12x + 11)' = 6x - 12$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $g'(x) = 0$.

$6x - 12 = 0$

$6x = 12$

$x = 2$

Критическая точка $x=2$ делит числовую ось на два интервала: $(-\infty, 2)$ и $(2, +\infty)$.

Определим знак производной на каждом интервале:

При $x < 2$ (например, $x=0$), $g'(0) = 6(0) - 12 = -12 < 0$. Следовательно, на интервале $(-\infty, 2)$ функция убывает.

При $x > 2$ (например, $x=3$), $g'(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0$. Следовательно, на интервале $(2, +\infty)$ функция возрастает.

Ответ: функция убывает на интервале $(-\infty, 2]$ и возрастает на интервале $[2, +\infty)$.

в) Для нахождения интервалов монотонности функции $h(x) = -\frac{x^3}{3} - \frac{7x^2}{2} + 8x + \cos{\frac{\pi}{3}}$ найдем ее производную. Заметим, что $\cos{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2}$ является константой, и ее производная равна нулю.

Производная функции: $h'(x) = (-\frac{x^3}{3} - \frac{7x^2}{2} + 8x + \cos{\frac{\pi}{3}})' = -\frac{3x^2}{3} - \frac{7 \cdot 2x}{2} + 8 = -x^2 - 7x + 8$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $h'(x) = 0$.

$-x^2 - 7x + 8 = 0$

$x^2 + 7x - 8 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -7, а их произведение равно -8. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -8$.

Критические точки $x=-8$ и $x=1$ делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -8)$, $(-8, 1)$ и $(1, +\infty)$.

Определим знак производной $h'(x) = -x^2 - 7x + 8$ на каждом интервале. Графиком производной является парабола с ветвями, направленными вниз.

На интервале $(-\infty, -8)$ производная отрицательна ($h'(-10) = -(-10)^2 - 7(-10) + 8 = -100 + 70 + 8 = -22 < 0$), следовательно, функция убывает.

На интервале $(-8, 1)$ производная положительна ($h'(0) = -(0)^2 - 7(0) + 8 = 8 > 0$), следовательно, функция возрастает.

На интервале $(1, +\infty)$ производная отрицательна ($h'(2) = -(2)^2 - 7(2) + 8 = -4 - 14 + 8 = -10 < 0$), следовательно, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на интервале $[-8, 1]$ и убывает на интервалах $(-\infty, -8]$ и $[1, +\infty)$.