Номер 7, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. (2) Для следующих функций определите интервалы монотонности (используя производную):

a) $f(x)=\cos x-\sqrt{3};$

б) $g(x)=x+\sin 2x;$

в) $h(x)=5\sin \left(x-\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(x-\frac{\pi}{8}\right)-\frac{5\sqrt{2}}{2}x.$

а) Для нахождения интервалов монотонности функции $f(x) = \cos x - \sqrt{3}$ используем ее производную.

1. Находим производную функции. Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$.
$f'(x) = (\cos x - \sqrt{3})' = -\sin x$.

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю.
$f'(x) = 0 \implies -\sin x = 0 \implies \sin x = 0$.
Критические точки: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Определяем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось.

• Функция возрастает, если $f'(x) > 0$.
  $-\sin x > 0 \implies \sin x < 0$.
  Это неравенство справедливо на интервалах $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Функция убывает, если $f'(x) < 0$.
  $-\sin x < 0 \implies \sin x > 0$.
  Это неравенство справедливо на интервалах $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Поскольку функция непрерывна на всей числовой прямой, концы интервалов можно включать.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$, и убывает на промежутках $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) Для функции $g(x) = x + \sin(2x)$.

1. Находим производную функции. Область определения функции $D(g) = \mathbb{R}$.
$g'(x) = (x + \sin(2x))' = 1 + 2\cos(2x)$.

2. Находим критические точки.
$g'(x) = 0 \implies 1 + 2\cos(2x) = 0 \implies \cos(2x) = -\frac{1}{2}$.
$2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Критические точки: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

3. Определяем знак производной.

• Функция возрастает, если $g'(x) > 0$.
  $1 + 2\cos(2x) > 0 \implies \cos(2x) > -\frac{1}{2}$.
  Решение этого неравенства: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < 2x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, что дает $-\frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{\pi}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Функция убывает, если $g'(x) < 0$.
  $1 + 2\cos(2x) < 0 \implies \cos(2x) < -\frac{1}{2}$.
  Решение этого неравенства: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < 2x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, что дает $\frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{2\pi}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Включаем концы интервалов в ответ.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{3} + \pi k, \frac{\pi}{3} + \pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$, и убывает на промежутках $[\frac{\pi}{3} + \pi k, \frac{2\pi}{3} + \pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) Для функции $h(x) = 5\sin(x - \frac{\pi}{8})\cos(x - \frac{\pi}{8}) - \frac{5\sqrt{2}}{2}x$.

1. Упростим функцию, используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$.
$h(x) = \frac{5}{2} \cdot 2\sin(x - \frac{\pi}{8})\cos(x - \frac{\pi}{8}) - \frac{5\sqrt{2}}{2}x = \frac{5}{2}\sin(2(x - \frac{\pi}{8})) - \frac{5\sqrt{2}}{2}x = \frac{5}{2}\sin(2x - \frac{\pi}{4}) - \frac{5\sqrt{2}}{2}x$.

2. Находим производную. Область определения функции $D(h) = \mathbb{R}$.
$h'(x) = (\frac{5}{2}\sin(2x - \frac{\pi}{4}) - \frac{5\sqrt{2}}{2}x)' = \frac{5}{2}\cos(2x - \frac{\pi}{4}) \cdot 2 - \frac{5\sqrt{2}}{2} = 5\cos(2x - \frac{\pi}{4}) - \frac{5\sqrt{2}}{2}$.

3. Находим критические точки.
$h'(x) = 0 \implies 5\cos(2x - \frac{\pi}{4}) - \frac{5\sqrt{2}}{2} = 0 \implies \cos(2x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$2x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Это дает две серии критических точек:
а) $2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k$.
б) $2x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies 2x = 2\pi k \implies x = \pi k$.

4. Определяем знак производной.

• Функция возрастает, если $h'(x) > 0$.
  $\cos(2x - \frac{\pi}{4}) > \frac{\sqrt{2}}{2}$.
  Решение: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < 2x - \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, что дает $\pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Функция убывает, если $h'(x) < 0$.
  $\cos(2x - \frac{\pi}{4}) < \frac{\sqrt{2}}{2}$.
  Решение: $\frac{\pi}{4} + 2\pi k < 2x - \frac{\pi}{4} < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$, что дает $\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \pi + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Включаем концы интервалов в ответ.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\pi k, \frac{\pi}{4} + \pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$, и убывает на промежутках $[\frac{\pi}{4} + \pi k, \pi + \pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.