Номер 11, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

11. (2) Определите интервалы возрастания и интервалы убывания функций:

а) $f(x)=x^5-5x^4$

б) $g(x)=-5x^8+64x^5+\text{arcctg } 2015$

в) $h(x)=\frac{(x+1)^7}{1-x}$

а) Дана функция $f(x) = x^5 - 5x^4$. Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Для нахождения интервалов монотонности найдем первую производную функции: $f'(x) = (x^5 - 5x^4)' = 5x^4 - 20x^3$. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $5x^4 - 20x^3 = 0$
$5x^3(x - 4) = 0$ Отсюда получаем критические точки $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 4)$ и $(4, +\infty)$. Исследуем знак производной $f'(x)$ на каждом из этих интервалов:
• При $x \in (-\infty, 0)$, например в точке $x=-1$, имеем $f'(-1) = 5(-1)^3(-1-4) = 25 > 0$, следовательно, функция возрастает.
• При $x \in (0, 4)$, например в точке $x=1$, имеем $f'(1) = 5(1)^3(1-4) = -15 < 0$, следовательно, функция убывает.
• При $x \in (4, +\infty)$, например в точке $x=5$, имеем $f'(5) = 5(5)^3(5-4) = 625 > 0$, следовательно, функция возрастает. Поскольку функция непрерывна в критических точках, их можно включить в интервалы монотонности.

Ответ: интервалы возрастания: $(-\infty, 0]$ и $[4, +\infty)$; интервал убывания: $[0, 4]$.

б) Дана функция $g(x) = -5x^8 + 64x^5 + \arctan(2015)$. Слагаемое $\arctan(2015)$ является константой. Область определения функции — все действительные числа: $D(g) = (-\infty, +\infty)$. Найдем первую производную: $g'(x) = (-5x^8 + 64x^5 + \arctan(2015))' = -40x^7 + 320x^4$. Найдем критические точки из уравнения $g'(x) = 0$: $-40x^7 + 320x^4 = 0$
$-40x^4(x^3 - 8) = 0$ Отсюда получаем критические точки $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$ (так как $x^3 = 8$). Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$. Исследуем знак производной $g'(x) = -40x^4(x^3 - 8)$ на каждом интервале. Заметим, что множитель $-40x^4$ всегда неположителен ($ \le 0$) и равен нулю только при $x=0$. Поэтому знак производной (при $x \neq 0$) противоположен знаку выражения $(x^3 - 8)$.
• При $x \in (-\infty, 0)$, выражение $x^3 - 8 < 0$, поэтому $g'(x) > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (0, 2)$, выражение $x^3 - 8 < 0$, поэтому $g'(x) > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (2, +\infty)$, выражение $x^3 - 8 > 0$, поэтому $g'(x) < 0$. Функция убывает. Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$ и $g'(x) \ge 0$ в окрестности точки $x=2$, интервалы возрастания $(-\infty, 0]$ и $[0, 2]$ можно объединить в один интервал $(-\infty, 2]$.

Ответ: интервал возрастания: $(-\infty, 2]$; интервал убывания: $[2, +\infty)$.

в) Дана функция $h(x) = \frac{(x+1)^7}{1-x}$. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $1-x \neq 0$, откуда $x \neq 1$. Итак, $D(h) = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного: $h'(x) = \left(\frac{(x+1)^7}{1-x}\right)' = \frac{((x+1)^7)'(1-x) - (x+1)^7(1-x)'}{(1-x)^2}$
$h'(x) = \frac{7(x+1)^6 \cdot 1 \cdot (1-x) - (x+1)^7 \cdot (-1)}{(1-x)^2} = \frac{7(x+1)^6(1-x) + (x+1)^7}{(1-x)^2}$ Вынесем общий множитель $(x+1)^6$ в числителе: $h'(x) = \frac{(x+1)^6 [7(1-x) + (x+1)]}{(1-x)^2} = \frac{(x+1)^6 (7 - 7x + x + 1)}{(1-x)^2} = \frac{(x+1)^6 (8 - 6x)}{(1-x)^2}$. Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. $h'(x) = 0$ при $(x+1)^6(8-6x) = 0$. Отсюда $x = -1$ или $8-6x=0 \implies x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$. Производная не существует при $x=1$, но эта точка не входит в область определения функции. Критические точки $x=-1$ и $x=4/3$, а также точка разрыва $x=1$ разбивают область определения на интервалы: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, 4/3)$ и $(4/3, +\infty)$. Исследуем знак производной $h'(x) = \frac{(x+1)^6 (8 - 6x)}{(1-x)^2}$. Множители $(x+1)^6$ и $(1-x)^2$ всегда неотрицательны. Таким образом, знак производной (для $x \neq -1$ и $x \neq 1$) определяется знаком выражения $8-6x$.
• $8-6x > 0 \iff 8 > 6x \iff x < \frac{4}{3}$.
• $8-6x < 0 \iff 8 < 6x \iff x > \frac{4}{3}$. Следовательно:
• На интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, 4/3)$ производная $h'(x) \ge 0$, значит, функция возрастает.
• На интервале $(4/3, +\infty)$ производная $h'(x) < 0$, значит, функция убывает. Объединяя интервалы возрастания, получаем, что функция возрастает на $(-\infty, 1)$ и на $(1, 4/3]$.

Ответ: интервалы возрастания: $(-\infty, 1)$ и $(1, 4/3]$; интервал убывания: $[4/3, +\infty)$.