Номер 10, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. (2) Для следующих функций определите интервалы монотонности:

a) $f(x) = x \sin \frac{15\pi}{7} - 67;$

б) $g(x) = \frac{\arccos(-1)}{(-2\pi)} x^2 + 7x \tan \frac{15\pi}{4} + 777 \sin 6;$

в) $h(x) = x^3 + x^2 \tan^2 \frac{5\pi}{3} - 9x + 7 \arcsin \frac{2}{3}.$

a) Дана функция $f(x) = x \sin\frac{15\pi}{7} - 67$.

Эта функция является линейной вида $f(x) = kx + b$, где угловой коэффициент (наклон) $k = \sin\frac{15\pi}{7}$, а свободный член $b = -67$. Монотонность линейной функции определяется знаком ее углового коэффициента $k$.

Найдем знак коэффициента $k = \sin\frac{15\pi}{7}$. Упростим аргумент синуса: $\frac{15\pi}{7} = \frac{14\pi + \pi}{7} = 2\pi + \frac{\pi}{7}$.

В силу периодичности функции синус, $\sin\frac{15\pi}{7} = \sin(2\pi + \frac{\pi}{7}) = \sin\frac{\pi}{7}$.

Угол $\frac{\pi}{7}$ находится в первой четверти ($0 < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$), следовательно, его синус положителен: $\sin\frac{\pi}{7} > 0$.

Так как угловой коэффициент $k > 0$, функция является возрастающей на всей области определения.

Другой способ — через производную. Производная функции $f(x)$ равна $f'(x) = (\sin\frac{15\pi}{7}) \cdot (x)' - (67)' = \sin\frac{15\pi}{7}$.

Поскольку $f'(x) = \sin\frac{15\pi}{7} > 0$ для любого значения $x$, функция $f(x)$ возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на интервале $(-\infty, +\infty)$.

б) Дана функция $g(x) = \frac{\arccos(-1)}{(-2\pi)}x^2 + 7x \operatorname{tg}\frac{15\pi}{4} + 777\sin6$.

Это квадратичная функция. Для определения интервалов монотонности сначала упростим постоянные коэффициенты.

Коэффициент при $x^2$: $\frac{\arccos(-1)}{-2\pi}$. Известно, что $\arccos(-1) = \pi$. Тогда коэффициент равен $\frac{\pi}{-2\pi} = -\frac{1}{2}$.

Коэффициент при $x$: $7 \operatorname{tg}\frac{15\pi}{4}$. Упростим аргумент тангенса: $\frac{15\pi}{4} = \frac{16\pi - \pi}{4} = 4\pi - \frac{\pi}{4}$. Тогда $\operatorname{tg}\frac{15\pi}{4} = \operatorname{tg}(4\pi - \frac{\pi}{4}) = \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -1$. Коэффициент равен $7 \cdot (-1) = -7$.

Свободный член: $777\sin6$.

Таким образом, функция имеет вид: $g(x) = -\frac{1}{2}x^2 - 7x + 777\sin6$.

Для нахождения интервалов монотонности найдем производную $g'(x)$:$g'(x) = (-\frac{1}{2}x^2 - 7x + 777\sin6)' = -\frac{1}{2} \cdot 2x - 7 = -x - 7$.

Найдем критическую точку, приравняв производную к нулю:$-x - 7 = 0 \implies x = -7$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые точка $x = -7$ делит числовую прямую.При $x < -7$, производная $g'(x) = -x - 7 > 0$, следовательно, функция $g(x)$ возрастает.При $x > -7$, производная $g'(x) = -x - 7 < 0$, следовательно, функция $g(x)$ убывает.

Ответ: функция возрастает на интервале $(-\infty, -7]$ и убывает на интервале $[-7, +\infty)$.

в) Дана функция $h(x) = x^3 + x^2 \operatorname{tg}\frac{5\pi}{3} - 9x + 7\arcsin\frac{2}{3}$.

Это кубическая функция. Упростим коэффициент при $x^2$: $\operatorname{tg}\frac{5\pi}{3}$.

Угол $\frac{5\pi}{3}$ находится в четвертой четверти. $\operatorname{tg}\frac{5\pi}{3} = \operatorname{tg}(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{3}) = -\operatorname{tg}(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.

Функция принимает вид: $h(x) = x^3 - \sqrt{3}x^2 - 9x + 7\arcsin\frac{2}{3}$.

Найдем производную $h'(x)$:$h'(x) = (x^3 - \sqrt{3}x^2 - 9x + 7\arcsin\frac{2}{3})' = 3x^2 - 2\sqrt{3}x - 9$.

Найдем критические точки, решив уравнение $h'(x) = 0$: $3x^2 - 2\sqrt{3}x - 9 = 0$.Вычислим дискриминант: $D = (-2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9) = 12 + 108 = 120$.$\sqrt{D} = \sqrt{120} = \sqrt{4 \cdot 30} = 2\sqrt{30}$.

Корни уравнения (критические точки):$x_{1,2} = \frac{-(-2\sqrt{3}) \pm 2\sqrt{30}}{2 \cdot 3} = \frac{2\sqrt{3} \pm 2\sqrt{30}}{6} = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{30}}{3}$.

Критические точки: $x_1 = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{30}}{3}$ и $x_2 = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{30}}{3}$.

Производная $h'(x) = 3x^2 - 2\sqrt{3}x - 9$ является параболой с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен $3 > 0$). Следовательно, $h'(x) > 0$ вне интервала между корнями и $h'(x) < 0$ внутри этого интервала.

Таким образом, функция $h(x)$ возрастает при $x \in (-\infty, \frac{\sqrt{3} - \sqrt{30}}{3}]$ и $x \in [\frac{\sqrt{3} + \sqrt{30}}{3}, +\infty)$.

Функция $h(x)$ убывает при $x \in [\frac{\sqrt{3} - \sqrt{30}}{3}, \frac{\sqrt{3} + \sqrt{30}}{3}]$.

Ответ: функция возрастает на интервалах $(-\infty, \frac{\sqrt{3} - \sqrt{30}}{3}]$ и $[\frac{\sqrt{3} + \sqrt{30}}{3}, +\infty)$, и убывает на интервале $[\frac{\sqrt{3} - \sqrt{30}}{3}, \frac{\sqrt{3} + \sqrt{30}}{3}]$.