Номер 6, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. (3) Определив множество значений производной от функции $f(x) = -\frac{1}{3}\cos 3x - \frac{1}{3}\sin 3x - \sqrt{2}x$, объясните, почему функция $f(x)$ убывает на всей области определения.

Определение множества значений производной

Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}\cos(3x) - \frac{1}{3}\sin(3x) - \sqrt{2}x$.Первым шагом является нахождение производной функции $f(x)$. Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$).

Найдем производную $f'(x)$, используя правила дифференцирования и производную сложной функции:$f'(x) = \left(\frac{1}{3}\cos(3x) - \frac{1}{3}\sin(3x) - \sqrt{2}x\right)'$$f'(x) = \frac{1}{3}(\cos(3x))' - \frac{1}{3}(\sin(3x))' - (\sqrt{2}x)'$$f'(x) = \frac{1}{3}(-\sin(3x) \cdot 3) - \frac{1}{3}(\cos(3x) \cdot 3) - \sqrt{2}$$f'(x) = -\sin(3x) - \cos(3x) - \sqrt{2}$

Для нахождения множества значений производной, преобразуем тригонометрическую часть $-(\sin(3x) + \cos(3x))$ с помощью метода вспомогательного угла. Выражение вида $a\sin\alpha + b\cos\alpha$ можно представить как $R\sin(\alpha + \varphi)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$.

В нашем случае, для выражения $\sin(3x) + \cos(3x)$ коэффициенты $a=1$ и $b=1$. Тогда $R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.Следовательно, $\sin(3x) + \cos(3x) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(3x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(3x)\right)$.Так как $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, мы можем использовать формулу синуса суммы:$\sin(3x) + \cos(3x) = \sqrt{2}\left(\sin(3x)\cos\frac{\pi}{4} + \cos(3x)\sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right)$.

Подставим полученное выражение обратно в формулу для производной:$f'(x) = -\sqrt{2}\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2}$.

Теперь найдем множество значений $f'(x)$. Мы знаем, что множество значений функции синус находится в пределах от -1 до 1:$-1 \le \sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) \le 1$.Умножим все части неравенства на $-\sqrt{2}$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:$\sqrt{2} \ge -\sqrt{2}\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) \ge -\sqrt{2}$.Теперь вычтем $\sqrt{2}$ из каждой части неравенства:$\sqrt{2} - \sqrt{2} \ge -\sqrt{2}\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2} \ge -\sqrt{2} - \sqrt{2}$.$0 \ge f'(x) \ge -2\sqrt{2}$.

Таким образом, множество значений производной функции $f(x)$ есть отрезок $[-2\sqrt{2}, 0]$.

Ответ: Множество значений производной функции $E(f')$ есть отрезок $[-2\sqrt{2}, 0]$.

Объяснение, почему функция f(x) убывает на всей области определения

Для определения промежутков монотонности функции используется знак ее производной. Если производная функции $f'(x) \le 0$ на некотором промежутке, то функция $f(x)$ на этом промежутке убывает.

Как мы установили в предыдущем пункте, производная данной функции $f'(x) = -\sqrt{2}\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2}$, а ее множество значений — это отрезок $[-2\sqrt{2}, 0]$.

Это означает, что для любого действительного значения $x$, значение производной $f'(x)$ является неположительным, то есть $f'(x) \le 0$.Поскольку это условие выполняется для всех $x$ из области определения функции ($\mathbb{R}$), функция $f(x)$ является убывающей на всей своей области определения.

Более того, производная $f'(x)$ равна нулю только в тех точках, где $\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) = -1$. Это происходит в дискретных точках $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Так как производная не равна нулю тождественно ни на каком интервале, функция является строго убывающей.

Ответ: Функция $f(x)$ убывает на всей области определения, так как ее производная $f'(x)$ неположительна ($f'(x) \le 0$) для всех значений $x$.