Номер 1, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 1

Построить на одной плоскости графики линейных функций $y = kx + m$:

$y = 0x + 3$, $y = \frac{1}{2}x - 3$, $y = 2x$, $y = 3x - 1$, $y = 7x - 5$, $y = -\frac{1}{2}x - 3$, $y = -2x$,

$y = -3x - 1$, $y = -7x - 5$.

Графики с положительными и отрицательными значениями коэффициента $k$ изобразить различными цветами. Какие выводы можно сделать о монотонности линейной функции в зависимости от знака $k$?

Построить на одной плоскости графики линейных функций y=kx+m и изобразить их различными цветами в зависимости от знака k

Для построения графика линейной функции $y=kx+m$, который представляет собой прямую линию, необходимо найти координаты двух точек, через которые проходит эта прямая. Разделим заданные функции на группы в зависимости от знака углового коэффициента $k$.

Группа 1: Функции с положительным коэффициентом ($k > 0$).

Графики этих функций являются возрастающими. Согласно условию, изобразим их одним цветом (например, синим).

• Для $y = \frac{1}{2}x - 3$ ($k=\frac{1}{2}$):
Если $x=0$, то $y = \frac{1}{2} \cdot 0 - 3 = -3$. Точка (0; -3).
Если $x=4$, то $y = \frac{1}{2} \cdot 4 - 3 = 2 - 3 = -1$. Точка (4; -1).

• Для $y = 2x$ ($k=2$):
Если $x=0$, то $y = 2 \cdot 0 = 0$. Точка (0; 0).
Если $x=1$, то $y = 2 \cdot 1 = 2$. Точка (1; 2).

• Для $y = 3x - 1$ ($k=3$):
Если $x=0$, то $y = 3 \cdot 0 - 1 = -1$. Точка (0; -1).
Если $x=1$, то $y = 3 \cdot 1 - 1 = 2$. Точка (1; 2).

• Для $y = 7x - 5$ ($k=7$):
Если $x=0$, то $y = 7 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка (0; -5).
Если $x=1$, то $y = 7 \cdot 1 - 5 = 2$. Точка (1; 2).

Группа 2: Функции с отрицательным коэффициентом ($k < 0$).

Графики этих функций являются убывающими. Изобразим их другим цветом (например, красным).

• Для $y = -\frac{1}{2}x - 3$ ($k=-\frac{1}{2}$):
Если $x=0$, то $y = -\frac{1}{2} \cdot 0 - 3 = -3$. Точка (0; -3).
Если $x=-2$, то $y = -\frac{1}{2} \cdot (-2) - 3 = 1 - 3 = -2$. Точка (-2; -2).

• Для $y = -2x$ ($k=-2$):
Если $x=0$, то $y = -2 \cdot 0 = 0$. Точка (0; 0).
Если $x=1$, то $y = -2 \cdot 1 = -2$. Точка (1; -2).

• Для $y = -3x - 1$ ($k=-3$):
Если $x=0$, то $y = -3 \cdot 0 - 1 = -1$. Точка (0; -1).
Если $x=-1$, то $y = -3 \cdot (-1) - 1 = 3 - 1 = 2$. Точка (-1; 2).

• Для $y = -7x - 5$ ($k=-7$):
Если $x=0$, то $y = -7 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка (0; -5).
Если $x=-1$, то $y = -7 \cdot (-1) - 5 = 7 - 5 = 2$. Точка (-1; 2).

Группа 3: Функция с нулевым коэффициентом ($k = 0$).

График этой функции — прямая, параллельная оси абсцисс. Ее можно изобразить третьим цветом (например, черным).

• Для $y = 0x + 3$, что упрощается до $y=3$ ($k=0$):
Для любого значения $x$ значение $y$ будет равно 3. Возьмем точки (0; 3) и (2; 3).

Ответ: Для построения графиков нужно начертить систему координат, отметить для каждой функции найденные две точки и провести через них прямую линию, используя разные цвета для групп с $k>0$ и $k<0$.

Какие выводы можно сделать о монотонности линейной функции в зависимости от знака k?

Монотонность (характер возрастания или убывания) линейной функции $y=kx+m$ полностью определяется знаком ее углового коэффициента $k$. На основе построенных графиков можно сформулировать следующие правила:

1. Если коэффициент $k > 0$, то линейная функция возрастает на всей области определения. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. График такой функции при движении слева направо направлен вверх.

2. Если коэффициент $k < 0$, то линейная функция убывает на всей области определения. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$. График такой функции при движении слева направо направлен вниз.

3. Если коэффициент $k = 0$, то функция является постоянной. Значение функции не изменяется и всегда равно $m$. График такой функции — это горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$.

Ответ: Монотонность линейной функции определяется знаком коэффициента $k$: если $k>0$, функция возрастает; если $k<0$, функция убывает; если $k=0$, функция постоянна.