Номер 49, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

49. (3) Найдите координаты точки пересечения двух касательных, проведенных к графику функции $y=\frac{x^2+1}{x-3}$: первая в точке на графике с абсциссой $x=4$, а вторая в точке с абсциссой $x=-2$.

Для решения задачи необходимо найти уравнения двух касательных к графику функции $y = \frac{x^2 + 1}{x - 3}$ в заданных точках, а затем найти координаты точки их пересечения, решив систему уравнений этих касательных.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем производную функции.

Дана функция $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 3}$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(x^2+1)'(x-3) - (x^2+1)(x-3)'}{(x-3)^2} = \frac{2x(x-3) - (x^2+1)(1)}{(x-3)^2} = \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 1}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 1}{(x-3)^2}$.

2. Найдем уравнение первой касательной в точке с абсциссой $x_0 = 4$.

Сначала найдем значение функции в этой точке: $f(4) = \frac{4^2 + 1}{4 - 3} = \frac{16 + 1}{1} = 17$.

Затем найдем значение производной (угловой коэффициент касательной) в этой точке: $f'(4) = \frac{4^2 - 6(4) - 1}{(4-3)^2} = \frac{16 - 24 - 1}{1^2} = -9$.

Теперь подставим найденные значения в уравнение касательной: $y = 17 + (-9)(x - 4) = 17 - 9x + 36 = -9x + 53$.

Таким образом, уравнение первой касательной: $y_1 = -9x + 53$.

3. Найдем уравнение второй касательной в точке с абсциссой $x_0 = -2$.

Найдем значение функции в этой точке: $f(-2) = \frac{(-2)^2 + 1}{-2 - 3} = \frac{4+1}{-5} = \frac{5}{-5} = -1$.

Найдем значение производной в этой точке: $f'(-2) = \frac{(-2)^2 - 6(-2) - 1}{(-2-3)^2} = \frac{4 + 12 - 1}{(-5)^2} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$.

Подставим значения в уравнение касательной: $y = -1 + \frac{3}{5}(x - (-2)) = -1 + \frac{3}{5}(x + 2) = -1 + \frac{3}{5}x + \frac{6}{5} = \frac{3}{5}x + \frac{1}{5}$.

Таким образом, уравнение второй касательной: $y_2 = \frac{3}{5}x + \frac{1}{5}$.

4. Найдем координаты точки пересечения двух касательных.

Для нахождения точки пересечения необходимо приравнять правые части уравнений касательных ($y_1 = y_2$): $-9x + 53 = \frac{3}{5}x + \frac{1}{5}$.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 5: $5(-9x + 53) = 5(\frac{3}{5}x + \frac{1}{5})$ $-45x + 265 = 3x + 1$.

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а константы — в другой: $265 - 1 = 3x + 45x$ $264 = 48x$.

Отсюда найдем абсциссу точки пересечения: $x = \frac{264}{48} = \frac{11}{2} = 5.5$.

Теперь найдем ординату точки пересечения, подставив найденное значение $x$ в уравнение любой из касательных. Воспользуемся уравнением первой касательной: $y = -9(\frac{11}{2}) + 53 = -\frac{99}{2} + \frac{106}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$.

Координаты точки пересечения двух касательных: $(\frac{11}{2}; \frac{7}{2})$.

Ответ: $(\frac{11}{2}; \frac{7}{2})$.