Номер 48, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

48. (3)
Найдите координаты точки пересечения двух касательных, проведенных к графику функции $y=\sin 3x$: первая в точке на графике с абсциссой $x=\frac{\pi}{18}$, а вторая в точке с абсциссой $x=\frac{5\pi}{18}$.

Для нахождения координат точки пересечения двух касательных необходимо сначала составить уравнения этих касательных.
Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = \sin(3x)$.
Найдем ее производную, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\cos(3x)$.

1. Составим уравнение первой касательной.
Касательная проведена в точке на графике с абсциссой $x_1 = \frac{\pi}{18}$.
Найдем значение функции в этой точке (ординату точки касания):
$f(x_1) = \sin(3 \cdot \frac{\pi}{18}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Найдем значение производной в этой точке (угловой коэффициент касательной):
$f'(x_1) = 3\cos(3 \cdot \frac{\pi}{18}) = 3\cos(\frac{\pi}{6}) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Подставим найденные значения в общую формулу уравнения касательной:
$y = f(x_1) + f'(x_1)(x - x_1)$
$y = \frac{1}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}(x - \frac{\pi}{18})$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$y = \frac{1}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}x - \frac{3\sqrt{3}\pi}{2 \cdot 18}$
$y = \frac{3\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\pi}{12}$.

2. Составим уравнение второй касательной.
Касательная проведена в точке на графике с абсциссой $x_2 = \frac{5\pi}{18}$.
Найдем значение функции в этой точке:
$f(x_2) = \sin(3 \cdot \frac{5\pi}{18}) = \sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Найдем значение производной в этой точке:
$f'(x_2) = 3\cos(3 \cdot \frac{5\pi}{18}) = 3\cos(\frac{5\pi}{6}) = 3\cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -3\cos(\frac{\pi}{6}) = -3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Подставим найденные значения в формулу уравнения касательной:
$y = f(x_2) + f'(x_2)(x - x_2)$
$y = \frac{1}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}(x - \frac{5\pi}{18})$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$y = \frac{1}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}x + \frac{3\sqrt{3} \cdot 5\pi}{2 \cdot 18}$
$y = -\frac{3\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} + \frac{5\sqrt{3}\pi}{12}$.

3. Найдем координаты точки пересечения касательных.
Для этого решим систему из двух полученных уравнений. Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу точки пересечения $x$:
$\frac{3\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\pi}{12} = -\frac{3\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} + \frac{5\sqrt{3}\pi}{12}$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а остальные — в правую:
$\frac{3\sqrt{3}}{2}x + \frac{3\sqrt{3}}{2}x = \frac{5\sqrt{3}\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}\pi}{12}$
$3\sqrt{3}x = \frac{6\sqrt{3}\pi}{12}$
$3\sqrt{3}x = \frac{\sqrt{3}\pi}{2}$
Разделим обе части на $3\sqrt{3}$:
$x = \frac{\sqrt{3}\pi}{2 \cdot 3\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$.
Теперь найдем ординату $y$, подставив найденное значение $x = \frac{\pi}{6}$ в уравнение любой из касательных. Возьмем уравнение первой касательной:
$y = \frac{3\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\pi}{12}$
$y = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\pi}{12}$
$y = \frac{3\sqrt{3}\pi}{12} + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\pi}{12}$
$y = \frac{2\sqrt{3}\pi}{12} + \frac{1}{2}$
$y = \frac{\sqrt{3}\pi}{6} + \frac{1}{2}$.
Таким образом, координаты точки пересечения двух касательных: $(\frac{\pi}{6}; \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\pi}{6})$.

Ответ: $(\frac{\pi}{6}; \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\pi}{6})$.