Номер 50, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

50. (3) Найдите уравнение всех тех касательных к графику функции $y=\sqrt{1-2x^2}$, каждая из которых вместе с осями координат ограничивает треугольник площадью $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Задача состоит в том, чтобы найти уравнения всех касательных к графику функции $y = \sqrt{1 - 2x^2}$, которые вместе с осями координат образуют треугольник площадью $S = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

1. Находим производную функции.
Функция задана как $y(x) = \sqrt{1 - 2x^2}$. Для нахождения уравнения касательной нам понадобится ее производная. Используем правило дифференцирования сложной функции:$y'(x) = (\sqrt{1 - 2x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{1 - 2x^2}} \cdot (1 - 2x^2)' = \frac{-4x}{2\sqrt{1 - 2x^2}} = \frac{-2x}{\sqrt{1 - 2x^2}}$.

2. Составляем общее уравнение касательной.
Уравнение касательной к графику функции $y(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:$y_{кас} = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0)$.Подставим наши значения для $y(x_0)$ и $y'(x_0)$:$y(x_0) = \sqrt{1 - 2x_0^2}$$y'(x_0) = \frac{-2x_0}{\sqrt{1 - 2x_0^2}}$Получаем уравнение касательной:$y_{кас} = \sqrt{1 - 2x_0^2} + \frac{-2x_0}{\sqrt{1 - 2x_0^2}}(x - x_0)$.Преобразуем это уравнение, чтобы найти точки пересечения с осями:$y_{кас} = \frac{-2x_0}{\sqrt{1 - 2x_0^2}}x + \frac{2x_0^2}{\sqrt{1 - 2x_0^2}} + \sqrt{1 - 2x_0^2}$$y_{кас} = \frac{-2x_0}{\sqrt{1 - 2x_0^2}}x + \frac{2x_0^2 + (1 - 2x_0^2)}{\sqrt{1 - 2x_0^2}}$$y_{кас} = \frac{-2x_0}{\sqrt{1 - 2x_0^2}}x + \frac{1}{\sqrt{1 - 2x_0^2}}$.

3. Находим точки пересечения касательной с осями координат.
Касательная образует с осями координат прямоугольный треугольник. Его катеты равны модулям отрезков, отсекаемых касательной на осях OX и OY.Точка пересечения с осью OY (y-перехват): полагаем $x = 0$.$y_{перес} = \frac{1}{\sqrt{1 - 2x_0^2}}$.Точка пересечения с осью OX (x-перехват): полагаем $y_{кас} = 0$.$0 = \frac{-2x_0}{\sqrt{1 - 2x_0^2}}x + \frac{1}{\sqrt{1 - 2x_0^2}}$.Умножим обе части на $\sqrt{1 - 2x_0^2}$ (это выражение не равно нулю, иначе касательная не определена):$0 = -2x_0 x + 1 \Rightarrow x_{перес} = \frac{1}{2x_0}$. (Это верно при $x_0 \ne 0$. Если $x_0=0$, касательная $y=1$ параллельна оси OX и не образует треугольника).

4. Вычисляем площадь треугольника и решаем уравнение.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:$S = \frac{1}{2} |x_{перес}| |y_{перес}| = \frac{1}{2} \left|\frac{1}{2x_0}\right| \left|\frac{1}{\sqrt{1 - 2x_0^2}}\right| = \frac{1}{4|x_0|\sqrt{1 - 2x_0^2}}$.По условию задачи, площадь равна $\frac{1}{\sqrt{2}}$:$\frac{1}{4|x_0|\sqrt{1 - 2x_0^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.$4|x_0|\sqrt{1 - 2x_0^2} = \sqrt{2}$.Возведем обе части уравнения в квадрат:$16x_0^2(1 - 2x_0^2) = 2$.$8x_0^2(1 - 2x_0^2) = 1$.$8x_0^2 - 16x_0^4 = 1$.$16x_0^4 - 8x_0^2 + 1 = 0$.Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x_0^2$ (где $t \ge 0$):$16t^2 - 8t + 1 = 0$.Это полный квадрат: $(4t - 1)^2 = 0$.Отсюда $4t - 1 = 0$, то есть $t = \frac{1}{4}$.Возвращаемся к $x_0$:$x_0^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x_0 = \pm\frac{1}{2}$.

5. Находим уравнения касательных.
Мы нашли две возможные абсциссы точки касания. Найдем уравнение для каждой из них.Общее уравнение касательной: $y = \frac{-2x_0}{\sqrt{1 - 2x_0^2}}x + \frac{1}{\sqrt{1 - 2x_0^2}}$.Для $x_0^2 = 1/4$, знаменатель $\sqrt{1 - 2x_0^2} = \sqrt{1 - 2(\frac{1}{4})} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Случай 1: $x_0 = \frac{1}{2}$.Коэффициент наклона: $k = \frac{-2(\frac{1}{2})}{1/\sqrt{2}} = \frac{-1}{1/\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$.Свободный член: $b = \frac{1}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.Уравнение касательной: $y = -\sqrt{2}x + \sqrt{2}$.

Случай 2: $x_0 = -\frac{1}{2}$.Коэффициент наклона: $k = \frac{-2(-\frac{1}{2})}{1/\sqrt{2}} = \frac{1}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.Свободный член: $b = \frac{1}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.Уравнение касательной: $y = \sqrt{2}x + \sqrt{2}$.

Таким образом, существуют две касательные, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: $y = \sqrt{2}x + \sqrt{2}$ и $y = -\sqrt{2}x + \sqrt{2}$.