Номер 47, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

47. (2) Вычислите координаты точек пересечения с осью у тех касательных к графику функции $y = \frac{3x-1}{x+8}$, которые образуют угол $45^{\circ}$ с осью $Ox$.

Условие, что касательная образует угол $45^\circ$ с осью $Ox$, означает, что её угловой коэффициент $k$ равен тангенсу этого угла. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $y'(x_0)$ в этой точке.
$k = y'(x_0) = \tan(45^\circ) = 1$.

Найдем производную функции $y = \frac{3x - 1}{x + 8}$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$y' = \frac{(3x - 1)'(x + 8) - (3x - 1)(x + 8)'}{(x + 8)^2} = \frac{3(x + 8) - (3x - 1) \cdot 1}{(x + 8)^2} = \frac{3x + 24 - 3x + 1}{(x + 8)^2} = \frac{25}{(x + 8)^2}$.

Теперь найдем абсциссы $x_0$ точек касания, приравняв производную к угловому коэффициенту $k=1$:
$\frac{25}{(x_0 + 8)^2} = 1$
$(x_0 + 8)^2 = 25$
Это уравнение имеет два решения:
1) $x_0 + 8 = 5 \implies x_{0_1} = -3$
2) $x_0 + 8 = -5 \implies x_{0_2} = -13$

Для каждой найденной абсциссы $x_0$ найдем соответствующую ординату $y_0 = y(x_0)$ и составим уравнение касательной по формуле $y - y_0 = k(x - x_0)$.
Для первой касательной (при $x_0 = -3$):
Ордината точки касания: $y_0 = \frac{3(-3) - 1}{-3 + 8} = \frac{-10}{5} = -2$.
Уравнение касательной: $y - (-2) = 1 \cdot (x - (-3)) \implies y + 2 = x + 3 \implies y = x + 1$.
Для второй касательной (при $x_0 = -13$):
Ордината точки касания: $y_0 = \frac{3(-13) - 1}{-13 + 8} = \frac{-40}{-5} = 8$.
Уравнение касательной: $y - 8 = 1 \cdot (x - (-13)) \implies y - 8 = x + 13 \implies y = x + 21$.

Наконец, найдем координаты точек пересечения этих касательных с осью $Oy$. Для этого в уравнениях касательных нужно положить $x=0$:
1) Для касательной $y = x + 1$: при $x=0$, получаем $y=1$. Точка пересечения $(0, 1)$.
2) Для касательной $y = x + 21$: при $x=0$, получаем $y=21$. Точка пересечения $(0, 21)$.

Ответ: $(0, 1)$ и $(0, 21)$.