Номер 42, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Составьте уравнение той касательной к графику функции $y = f(x)$, которая образует с осью заданный угол $\alpha$, (42-43):

42. (2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}x^3 - 3\sqrt{3}x$, $\alpha = 60^{\circ}$;

42. (2)

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Угловой коэффициент касательной $k$ равен значению производной в точке касания $f'(x_0)$, а также тангенсу угла наклона $\alpha$ касательной к положительному направлению оси Ox: $k = f'(x_0) = \tan(\alpha)$.

Для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}x^3 - 3\sqrt{3}x$ и угла $\alpha = 60^\circ$ найдем искомые уравнения.

1. Найдем угловой коэффициент $k$:
$k = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}x^3 - 3\sqrt{3}x\right)' = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (3x^2) - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}x^2 - 3\sqrt{3}$.

3. Найдем абсциссы точек касания $x_0$, приравняв производную к угловому коэффициенту:
$f'(x_0) = k$
$\sqrt{3}x_0^2 - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$
$\sqrt{3}x_0^2 = 4\sqrt{3}$
$x_0^2 = 4$
Отсюда получаем две абсциссы: $x_{0,1} = 2$ и $x_{0,2} = -2$. Значит, существует две касательные, удовлетворяющие заданному условию.

4. Найдем уравнения для каждой касательной.

Для $x_0 = 2$:
Найдем ординату точки касания:
$y_0 = f(2) = \frac{1}{\sqrt{3}}(2)^3 - 3\sqrt{3}(2) = \frac{8}{\sqrt{3}} - 6\sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3} - \frac{18\sqrt{3}}{3} = -\frac{10\sqrt{3}}{3}$.
Уравнение касательной:
$y - (-\frac{10\sqrt{3}}{3}) = \sqrt{3}(x - 2)$
$y + \frac{10\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}x - 2\sqrt{3}$
$y = \sqrt{3}x - 2\sqrt{3} - \frac{10\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}x - \frac{6\sqrt{3} + 10\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}x - \frac{16\sqrt{3}}{3}$.

Для $x_0 = -2$:
Найдем ординату точки касания:
$y_0 = f(-2) = \frac{1}{\sqrt{3}}(-2)^3 - 3\sqrt{3}(-2) = -\frac{8}{\sqrt{3}} + 6\sqrt{3} = -\frac{8\sqrt{3}}{3} + \frac{18\sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$.
Уравнение касательной:
$y - \frac{10\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}(x - (-2))$
$y - \frac{10\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}(x + 2)$
$y = \sqrt{3}x + 2\sqrt{3} + \frac{10\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}x + \frac{6\sqrt{3} + 10\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}x + \frac{16\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $y = \sqrt{3}x - \frac{16\sqrt{3}}{3}$ и $y = \sqrt{3}x + \frac{16\sqrt{3}}{3}$.