Номер 39, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

39. (2) $y=6x^2-5x+1.$

Для полного исследования данной квадратичной функции $y = 6x^2 - 5x + 1$ проанализируем ее основные свойства.

1. Направление ветвей параболы
Функция является квадратичной вида $y = ax^2 + bx + c$, где коэффициенты равны $a = 6$, $b = -5$, $c = 1$.
Поскольку старший коэффициент $a = 6$ положителен ($a > 0$), ветви параболы направлены вверх.
Ответ: Ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины и ось симметрии
Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ вычисляются по формулам:
Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 6} = \frac{5}{12}$.
Ордината вершины находится подстановкой $x_v$ в уравнение функции:
$y_v = 6\left(\frac{5}{12}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{12}\right) + 1 = 6 \cdot \frac{25}{144} - \frac{25}{12} + 1 = \frac{25}{24} - \frac{50}{24} + \frac{24}{24} = \frac{25 - 50 + 24}{24} = -\frac{1}{24}$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(\frac{5}{12}, -\frac{1}{24})$.
Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Уравнение оси симметрии: $x = \frac{5}{12}$.
Ответ: Координаты вершины параболы $(\frac{5}{12}, -\frac{1}{24})$, уравнение оси симметрии $x = \frac{5}{12}$.

3. Точки пересечения с осями координат
Пересечение с осью ординат (осью Oy):
Происходит при $x = 0$. Подставим это значение в функцию:
$y(0) = 6 \cdot 0^2 - 5 \cdot 0 + 1 = 1$.
Точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, 1)$.
Пересечение с осью абсцисс (осью Ox):
Происходит при $y = 0$. Необходимо решить квадратное уравнение $6x^2 - 5x + 1 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 1}{12}$.
$x_1 = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
Точки пересечения с осью Ox имеют координаты $(\frac{1}{3}, 0)$ и $(\frac{1}{2}, 0)$.
Ответ: Точка пересечения с осью Oy: $(0, 1)$. Точки пересечения с осью Ox: $(\frac{1}{3}, 0)$ и $(\frac{1}{2}, 0)$.

4. Область определения и область значений
Область определения функции $D(y)$:
Квадратичная функция определена для всех действительных чисел.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений функции $E(y)$:
Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в своей вершине. Это значение равно ординате вершины $y_v = -\frac{1}{24}$.
Следовательно, функция принимает все значения, большие или равные $-\frac{1}{24}$.
$E(y) = [-\frac{1}{24}; +\infty)$.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(y) = [-\frac{1}{24}; +\infty)$.