gdz.top
Номер 34, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы
Авторы: Пак О. В., Ардакулы Д., Ескендирова Е. В.
Тип: Учебник
Издательство: Алматыкітап баспасы
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-01-3958-9
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Часть 2. Глава 5. Производная. Параграф 3. Физический и геометрический смысл производной. 3.2. Касательная к графику функции. Задачи - номер 34, страница 72.
№33
№34 (с. 72)
Условие. №34 (с. 72)
34.
(1) $f(x)=\cos^2 x, x_0 = \frac{\pi}{4}$.
Решение 2 (rus). №34 (с. 72)
(1)
Поскольку в условии задачи не указано конкретное действие, которое необходимо выполнить с функцией и точкой, будем решать наиболее стандартную для такого случая задачу: нахождение уравнения касательной к графику функции $f(x) = \cos^2 x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$.
Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Для составления уравнения последовательно найдем все его компоненты.
1. Вычислим значение функции $f(x)$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:
$f(x_0) = f(\frac{\pi}{4}) = \cos^2(\frac{\pi}{4})$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:
$f(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
2. Найдем производную функции $f(x) = \cos^2 x$. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом):
$f'(x) = (\cos^2 x)' = 2 \cos x \cdot (\cos x)' = 2 \cos x \cdot (-\sin x) = -2 \sin x \cos x$.
Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha$, можно упростить выражение для производной:
$f'(x) = -\sin(2x)$.
3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:
$f'(x_0) = f'(\frac{\pi}{4}) = -\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{2})$.
Так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, то:
$f'(\frac{\pi}{4}) = -1$.
4. Подставим найденные значения $f(x_0) = \frac{1}{2}$, $f'(x_0) = -1$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$ в общую формулу уравнения касательной:
$y = \frac{1}{2} + (-1) \cdot (x - \frac{\pi}{4})$.
5. Упростим полученное выражение, чтобы получить окончательный вид уравнения:
$y = \frac{1}{2} - x + \frac{\pi}{4}$.
$y = -x + \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$.
Ответ: $y = -x + \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 34 расположенного на странице 72 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №34 (с. 72), авторов: Пак (Олег Владимирович), Ардакулы (Дархан ), Ескендирова (Елена Викторовна), 2-й части учебного пособия издательства Алматыкітап баспасы.