Номер 27, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Через точку пересечения графиков функции $y=\frac{6}{\sqrt{x}}$ и $y=12x^{-\frac{1}{2}}-2x^{\frac{1}{2}}$ проведена касательная к каждому графику. Найдите разность углов, образованных этими касательными с положительным направлением оси $Ox$.

Для решения задачи сначала найдем точку пересечения графиков двух функций: $y_1 = \frac{6}{\sqrt{x}}$ и $y_2 = 12x^{-\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{2}}$. Для этого приравняем их выражения.

Заметим, что $\frac{6}{\sqrt{x}}$ можно записать как $6x^{-\frac{1}{2}}$. Тогда уравнение для нахождения абсциссы точки пересечения $x_0$ будет выглядеть так:$6x^{-\frac{1}{2}} = 12x^{-\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{2}}$

Перенесем слагаемые, чтобы сгруппировать подобные члены:$2x^{\frac{1}{2}} = 12x^{-\frac{1}{2}} - 6x^{-\frac{1}{2}}$$2x^{\frac{1}{2}} = 6x^{-\frac{1}{2}}$

Представим степени в виде корней:$2\sqrt{x} = \frac{6}{\sqrt{x}}$

Область определения обеих функций $x > 0$, поэтому мы можем умножить обе части уравнения на $\sqrt{x}$:$2\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = 6$$2x = 6$$x_0 = 3$

Итак, графики функций пересекаются в точке с абсциссой $x_0 = 3$.

Угол, который касательная к графику функции образует с положительным направлением оси Ox, определяется тангенсом этого угла, который, в свою очередь, равен значению производной функции в точке касания. Пусть $\alpha_1$ и $\alpha_2$ — это углы, образованные касательными к графикам функций $y_1(x)$ и $y_2(x)$ соответственно. Тогда их тангенсы равны $k_1 = \tan(\alpha_1) = y_1'(x_0)$ и $k_2 = \tan(\alpha_2) = y_2'(x_0)$. Нам нужно найти разность этих углов, то есть $|\alpha_1 - \alpha_2|$.

Найдем производные заданных функций.Для первой функции $y_1(x) = 6x^{-\frac{1}{2}}$:$y_1'(x) = 6 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}-1} = -3x^{-\frac{3}{2}}$

Для второй функции $y_2(x) = 12x^{-\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{2}}$:$y_2'(x) = 12 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}-1} - 2 \cdot (\frac{1}{2})x^{\frac{1}{2}-1} = -6x^{-\frac{3}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}$

Теперь вычислим значения производных в точке $x_0 = 3$:$k_1 = y_1'(3) = -3 \cdot 3^{-\frac{3}{2}} = -3 \cdot \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} = -3 \cdot \frac{1}{3\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$k_2 = y_2'(3) = -6 \cdot 3^{-\frac{3}{2}} - 3^{-\frac{1}{2}} = -6 \cdot \frac{1}{3\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$

Мы нашли угловые коэффициенты (тангенсы углов наклона) касательных: $\tan(\alpha_1) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\tan(\alpha_2) = -\sqrt{3}$.Разность углов $\Delta\alpha = \alpha_1 - \alpha_2$ можно найти, используя формулу тангенса разности:$\tan(\Delta\alpha) = \tan(|\alpha_1 - \alpha_2|) = \left|\frac{\tan(\alpha_1) - \tan(\alpha_2)}{1 + \tan(\alpha_1)\tan(\alpha_2)}\right|$

Подставим найденные значения $k_1$ и $k_2$:$\tan(\Delta\alpha) = \left|\frac{-\frac{\sqrt{3}}{3} - (-\sqrt{3})}{1 + (-\frac{\sqrt{3}}{3})(-\sqrt{3})}\right| = \left|\frac{-\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 + \frac{3}{3}}\right| = \left|\frac{\frac{- \sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{3}}{1 + 1}\right| = \left|\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{2}\right| = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Таким образом, тангенс разности углов равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Это соответствует углу, равному $\frac{\pi}{6}$ радиан или $30^\circ$.$\Delta\alpha = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Это и есть искомая разность углов.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$