Номер 26, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

26.

(2) $y = \frac{x^3}{3} + x^2 - x$

Проведем полное исследование функции $y = \frac{x^3}{3} + x^2 - x$ и построим ее график.

1. Область определения

Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.
Ответ: Область определения функции $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат

С осью Oy:
Для нахождения точки пересечения с осью ординат, подставим $x=0$ в уравнение функции:
$y(0) = \frac{0^3}{3} + 0^2 - 0 = 0$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$.

С осью Ox:
Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс, решим уравнение $y=0$:
$\frac{x^3}{3} + x^2 - x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(\frac{x^2}{3} + x - 1) = 0$
Отсюда получаем первый корень $x_1 = 0$.
Решим квадратное уравнение $\frac{x^2}{3} + x - 1 = 0$. Умножим обе части на 3:
$x^2 + 3x - 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 9 + 12 = 21$.
Корни уравнения: $x_{2,3} = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2}$.
$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{21}}{2} \approx -3.79$, $x_3 = \frac{-3 + \sqrt{21}}{2} \approx 0.79$.
Ответ: Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$. Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$, $(\frac{-3 - \sqrt{21}}{2}, 0)$, $(\frac{-3 + \sqrt{21}}{2}, 0)$.

3. Четность и периодичность

Проверим функцию на четность: $y(-x) = \frac{(-x)^3}{3} + (-x)^2 - (-x) = -\frac{x^3}{3} + x^2 + x$.
Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. Это функция общего вида.
Функция не является периодической, так как является многочленом.
Ответ: Функция общего вида, непериодическая.

4. Асимптоты графика

Вертикальные асимптоты:
Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой оси.
Горизонтальные асимптоты:
Найдем пределы функции при $x \to \pm\infty$:
$\lim_{x \to +\infty} (\frac{x^3}{3} + x^2 - x) = +\infty$
$\lim_{x \to -\infty} (\frac{x^3}{3} + x^2 - x) = -\infty$
Так как пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
Наклонные асимптоты:
Наклонные асимптоты ищутся в виде $y = kx+b$.
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^3}{3} + x^2 - x}{x} = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2}{3} + x - 1) = \infty$.
Так как предел для $k$ равен бесконечности, наклонных асимптот нет.
Ответ: Асимптот нет.

5. Интервалы монотонности и точки экстремума

Найдем первую производную функции:
$y' = (\frac{x^3}{3} + x^2 - x)' = x^2 + 2x - 1$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.
$x^2 + 2x - 1 = 0$
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 8$
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.
Критические точки: $x_1 = -1 - \sqrt{2} \approx -2.41$ и $x_2 = -1 + \sqrt{2} \approx 0.41$.
Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:
- На интервале $(-\infty, -1-\sqrt{2})$: $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(-1-\sqrt{2}, -1+\sqrt{2})$: $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-1+\sqrt{2}, +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает.
В точке $x = -1 - \sqrt{2}$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка локального максимума.
В точке $x = -1 + \sqrt{2}$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка локального минимума.
Найдем значения функции в точках экстремума:
$y_{max} = y(-1-\sqrt{2}) = \frac{(-1-\sqrt{2})^3}{3} + (-1-\sqrt{2})^2 - (-1-\sqrt{2}) = \frac{5+4\sqrt{2}}{3} \approx 3.55$.
$y_{min} = y(-1+\sqrt{2}) = \frac{(-1+\sqrt{2})^3}{3} + (-1+\sqrt{2})^2 - (-1+\sqrt{2}) = \frac{5-4\sqrt{2}}{3} \approx -0.22$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1-\sqrt{2}]$ и $[-1+\sqrt{2}, +\infty)$, убывает на промежутке $[-1-\sqrt{2}, -1+\sqrt{2}]$. Точка максимума: $(-1-\sqrt{2}, \frac{5+4\sqrt{2}}{3})$. Точка минимума: $(-1+\sqrt{2}, \frac{5-4\sqrt{2}}{3})$.

6. Интервалы выпуклости/вогнутости и точки перегиба

Найдем вторую производную функции:
$y'' = (x^2 + 2x - 1)' = 2x + 2$.
Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю: $y''=0$.
$2x + 2 = 0 \implies x = -1$.
Определим знаки второй производной:
- При $x < -1$: $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).
- При $x > -1$: $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).
Так как в точке $x = -1$ вторая производная меняет знак, это точка перегиба.
Найдем значение функции в точке перегиба:
$y(-1) = \frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 - (-1) = -\frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{5}{3} \approx 1.67$.

Ответ: График функции выпуклый вверх на промежутке $(-\infty, -1]$ и выпуклый вниз на промежутке $[-1, +\infty)$. Точка перегиба имеет координаты $(-1, \frac{5}{3})$.

7. Построение графика

Сведем полученные данные в таблицу:

Основываясь на проведенном исследовании, можно построить график функции. График представляет собой кубическую параболу, которая начинается в $-\infty$, возрастает до точки максимума $(-2.41, 3.55)$, затем убывает, проходя через точку перегиба $(-1, 1.67)$ и точку начала координат $(0,0)$, достигает минимума в точке $(0.41, -0.22)$, после чего снова возрастает и уходит в $+\infty$. График пересекает ось абсцисс в трех точках: $x \approx -3.79$, $x=0$ и $x \approx 0.79$.
Ответ: Полное исследование функции проведено, ключевые точки и интервалы поведения функции найдены, что позволяет построить ее график.