Номер 19, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

19. (3) Составьте уравнения касательных к кривым $y=2x^2-5$ и $y=x^2-3x+5$, проведенных через точки пересечения этих кривых.

Для решения задачи необходимо сначала найти точки пересечения двух кривых, а затем для каждой точки пересечения составить уравнения касательных к каждой из кривых.

1. Нахождение точек пересечения кривых

Приравняем уравнения кривых, чтобы найти абсциссы точек пересечения:

$2x^2 - 5 = x^2 - 3x + 5$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 - x^2 + 3x - 5 - 5 = 0$

$x^2 + 3x - 10 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$

Теперь найдем ординаты (координаты $y$) для каждой точки пересечения, подставив найденные значения $x$ в уравнение любой из кривых. Возьмем $y = 2x^2 - 5$.

При $x_1 = 2$: $y_1 = 2(2)^2 - 5 = 2 \cdot 4 - 5 = 8 - 5 = 3$.

Первая точка пересечения: $A(2, 3)$.

При $x_2 = -5$: $y_2 = 2(-5)^2 - 5 = 2 \cdot 25 - 5 = 50 - 5 = 45$.

Вторая точка пересечения: $B(-5, 45)$.

2. Составление уравнений касательных

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$, где $f'(x_0)$ - значение производной в точке $x_0$.

Найдем производные для каждой функции:

Для кривой $y = 2x^2 - 5$, производная $y' = (2x^2 - 5)' = 4x$.

Для кривой $y = x^2 - 3x + 5$, производная $y' = (x^2 - 3x + 5)' = 2x - 3$.

Касательные в точке пересечения A(2, 3)

Для кривой $y = 2x^2 - 5$:
Найдем угловой коэффициент (значение производной) в точке $x_0 = 2$: $k_1 = 4 \cdot 2 = 8$.
Уравнение касательной: $y - 3 = 8(x - 2)$
$y - 3 = 8x - 16$
$y = 8x - 13$

Для кривой $y = x^2 - 3x + 5$:
Найдем угловой коэффициент в точке $x_0 = 2$: $k_2 = 2 \cdot 2 - 3 = 1$.
Уравнение касательной: $y - 3 = 1(x - 2)$
$y - 3 = x - 2$
$y = x + 1$

Касательные в точке пересечения B(-5, 45)

Для кривой $y = 2x^2 - 5$:
Найдем угловой коэффициент в точке $x_0 = -5$: $k_3 = 4 \cdot (-5) = -20$.
Уравнение касательной: $y - 45 = -20(x - (-5))$
$y - 45 = -20(x + 5)$
$y - 45 = -20x - 100$
$y = -20x - 55$

Для кривой $y = x^2 - 3x + 5$:
Найдем угловой коэффициент в точке $x_0 = -5$: $k_4 = 2 \cdot (-5) - 3 = -10 - 3 = -13$.
Уравнение касательной: $y - 45 = -13(x - (-5))$
$y - 45 = -13(x + 5)$
$y - 45 = -13x - 65$
$y = -13x - 20$

Ответ:
В точке $A(2, 3)$ уравнения касательных:
к кривой $y = 2x^2 - 5$ это $y = 8x - 13$;
к кривой $y = x^2 - 3x + 5$ это $y = x + 1$.
В точке $B(-5, 45)$ уравнения касательных:
к кривой $y = 2x^2 - 5$ это $y = -20x - 55$;
к кривой $y = x^2 - 3x + 5$ это $y = -13x - 20$.