gdz.top
Номер 18, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы
Авторы: Пак О. В., Ардакулы Д., Ескендирова Е. В.
Тип: Учебник
Издательство: Алматыкітап баспасы
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-01-3958-9
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Часть 2. Глава 5. Производная. Параграф 3. Физический и геометрический смысл производной. 3.2. Касательная к графику функции. Задачи - номер 18, страница 71.
№17
№18 (с. 71)
Условие. №18 (с. 71)
18. (3)
В каких точках касательная к графику функции $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 7x - 4$ образует с осью $Ox$ угол $45?$
Решение 2 (rus). №18 (с. 71)
Угловой коэффициент касательной $k$ к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$. Также угловой коэффициент связан с углом наклона $\alpha$ касательной к положительному направлению оси Ox формулой $k = \tan(\alpha)$.
По условию, касательная образует с осью Ox угол $45^\circ$. Следовательно, угловой коэффициент касательной равен: $k = \tan(45^\circ) = 1$.
Таким образом, задача сводится к нахождению точек, в которых производная функции $f(x)$ равна 1.
Найдем производную функции $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 7x - 4$: $f'(x) = \left(\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 7x - 4\right)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{5}{2} \cdot 2x + 7 - 0 = x^2 - 5x + 7$.
Теперь приравняем производную к 1 и решим полученное уравнение, чтобы найти абсциссы искомых точек: $f'(x) = 1$ $x^2 - 5x + 7 = 1$ $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда легко находим корни: $x_1 = 2$ $x_2 = 3$.
Мы нашли абсциссы точек касания. Теперь найдем соответствующие ординаты, подставив эти значения в исходную функцию $f(x)$.
Для $x_1 = 2$: $y_1 = f(2) = \frac{2^3}{3} - \frac{5 \cdot 2^2}{2} + 7 \cdot 2 - 4 = \frac{8}{3} - \frac{5 \cdot 4}{2} + 14 - 4 = \frac{8}{3} - 10 + 10 = \frac{8}{3}$. Следовательно, первая точка имеет координаты $(2; \frac{8}{3})$.
Для $x_2 = 3$: $y_2 = f(3) = \frac{3^3}{3} - \frac{5 \cdot 3^2}{2} + 7 \cdot 3 - 4 = \frac{27}{3} - \frac{45}{2} + 21 - 4 = 9 - \frac{45}{2} + 17 = 26 - \frac{45}{2} = \frac{52}{2} - \frac{45}{2} = \frac{7}{2}$. Следовательно, вторая точка имеет координаты $(3; \frac{7}{2})$.
Ответ: $(2; \frac{8}{3})$ и $(3; \frac{7}{2})$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 18 расположенного на странице 71 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №18 (с. 71), авторов: Пак (Олег Владимирович), Ардакулы (Дархан ), Ескендирова (Елена Викторовна), 2-й части учебного пособия издательства Алматыкітап баспасы.