Страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Найдите уравнения касательной к графику функции в точках пересечения этого графика с осью абсцисс (9-10):

9. (2) $y=\frac{x^3+1}{3}$

9. (2)

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции в точке пересечения с осью абсцисс, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс (осью Ox). Для этого нужно приравнять функцию к нулю, так как на оси абсцисс $y=0$.

Заданная функция: $y = \frac{x^3+1}{3}$

Приравниваем $y$ к нулю:

$\frac{x^3+1}{3} = 0$

$x^3+1 = 0$

$x^3 = -1$

Отсюда находим абсциссу точки пересечения: $x_0 = -1$.

Таким образом, график функции пересекает ось абсцисс в одной точке $(-1; 0)$. Это и будет точка касания.

2. Найти производную функции $y=f(x)$. Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной в этой точке, $k=f'(x_0)$.

Представим функцию в более удобном для дифференцирования виде:

$f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{3}$

Находим производную:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{3})' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 0 = x^2$

3. Вычислить значение производной в точке касания $x_0 = -1$.

$k = f'(-1) = (-1)^2 = 1$

Угловой коэффициент касательной равен 1.

4. Записать уравнение касательной, используя общую формулу $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Мы имеем:
- точку касания $(x_0; y_0) = (-1; 0)$, то есть $x_0=-1$ и $f(x_0)=0$.
- угловой коэффициент $k = f'(x_0) = 1$.

Подставляем эти значения в формулу:

$y = 0 + 1 \cdot (x - (-1))$

$y = 1 \cdot (x+1)$

$y = x + 1$

Это и есть искомое уравнение касательной.

Ответ: $y = x+1$.

10. (2) $y = x^2 - 2x$.

Для того чтобы развернуто решить задачу, проведем полное исследование функции $y=x^2-2x$.

Данная функция является квадратичной функцией вида $y = ax^2+bx+c$, где коэффициенты равны $a=1$, $b=-2$ и $c=0$. Графиком этой функции является парабола. Поскольку старший коэффициент $a=1$ положителен ($a > 0$), ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Подставив значения коэффициентов, получаем: $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$. Для нахождения ординаты вершины, подставим полученное значение $x_v=1$ в уравнение функции: $y_v = 1^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$. Таким образом, вершина параболы имеет координаты $(1, -1)$. Осью симметрии параболы является вертикальная прямая, проходящая через вершину, ее уравнение $x=1$.

Далее найдем точки пересечения графика с осями координат. Для нахождения точки пересечения с осью ординат (OY), необходимо подставить $x=0$ в уравнение функции: $y = 0^2 - 2 \cdot 0 = 0$. Следовательно, график пересекает ось OY в начале координат, в точке $(0, 0)$.

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (OX), необходимо решить уравнение $y=0$, то есть $x^2-2x=0$. Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобку: $x(x-2)=0$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находим два корня: $x_1=0$ и $x_2=2$. Значит, график пересекает ось OX в двух точках: $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Область определения данной функции — это множество всех действительных чисел, так как функция является многочленом: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений функции определяется положением вершины и направлением ветвей. Так как ветви направлены вверх, а минимальное значение функция принимает в вершине ($y_v = -1$), то область значений функции — это все числа, большие или равные $-1$: $E(y) = [-1; +\infty)$.

Собрав все полученные данные, мы можем охарактеризовать функцию и построить ее график. Ключевые точки для построения: вершина $(1, -1)$, точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Ответ: Функция $y=x^2-2x$ — это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Ветви параболы направлены вверх. Координаты вершины: $(1, -1)$. Ось симметрии: $x=1$. Точки пересечения с осью OX: $(0, 0)$ и $(2, 0)$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 0)$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[-1; +\infty)$.

Найдите уравнения касательной к графику функции в точках пересечения этого графика с осью ординат (11-13):

11. (2) $y = x^2 - 2x + 5$.

11. (2)Чтобы найти уравнение касательной к графику функции, нужно знать точку касания $(x_0, y_0)$ и угловой коэффициент касательной $k$, который равен значению производной в точке $x_0$. Уравнение касательной имеет вид: $y = y_0 + k(x - x_0)$.
1. Найдём точку пересечения графика функции $y = x^2 - 2x + 5$ с осью ординат. Пересечение с осью ординат происходит, когда абсцисса $x$ равна нулю.
Подставим $x_0 = 0$ в уравнение функции, чтобы найти ординату точки касания $y_0$:
$y_0 = 0^2 - 2 \cdot 0 + 5 = 5$.
Таким образом, точка касания — $(0, 5)$.
2. Найдём производную функции $y(x)$:
$y' = (x^2 - 2x + 5)' = 2x - 2$.
3. Вычислим значение производной в точке касания $x_0 = 0$, чтобы найти угловой коэффициент $k$:
$k = y'(0) = 2 \cdot 0 - 2 = -2$.
4. Подставим найденные значения $x_0 = 0$, $y_0 = 5$ и $k = -2$ в общее уравнение касательной $y = y_0 + k(x - x_0)$:
$y = 5 + (-2)(x - 0)$
$y = 5 - 2x$
Таким образом, уравнение касательной имеет вид $y = -2x + 5$.
Ответ: $y = -2x + 5$.

12. (2) $y=3x^3+2x+5$.

Поскольку в задании не указано, какое действие необходимо выполнить с функцией $y = 3x^3 + 2x + 5$, стандартной и наиболее вероятной задачей является нахождение её производной. Найдем производную $y'$ данной функции по переменной $x$.

Для нахождения производной воспользуемся следующими правилами дифференцирования:
1. Правило суммы: производная суммы функций равна сумме их производных, то есть $(u+v)' = u' + v'$.
2. Правило вынесения константы за знак производной: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$, где $c$ — константа.
3. Производная степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.
4. Производная константы: $(c)' = 0$.

Применим эти правила к нашей функции. Согласно правилу суммы, производная функции $y$ будет равна сумме производных ее слагаемых:$y' = (3x^3 + 2x + 5)' = (3x^3)' + (2x)' + (5)'$.

Теперь вычислим производную каждого слагаемого в отдельности:

Для первого слагаемого $3x^3$, применяем правило вынесения константы и правило для степенной функции:$(3x^3)' = 3 \cdot (x^3)' = 3 \cdot (3x^{3-1}) = 9x^2$.

Для второго слагаемого $2x$ (что эквивалентно $2x^1$), делаем то же самое:$(2x)' = 2 \cdot (x^1)' = 2 \cdot (1 \cdot x^{1-1}) = 2 \cdot (1 \cdot x^0) = 2 \cdot 1 = 2$.

Для третьего слагаемого $5$, которое является константой, производная равна нулю:$(5)' = 0$.

Теперь сложим полученные результаты, чтобы найти производную исходной функции:$y' = 9x^2 + 2 + 0 = 9x^2 + 2$.

Ответ: $y' = 9x^2 + 2$.

13. (2)

$y=2-x-x^2$.

Проведем полное исследование функции $y = 2 - x - x^2$ и построим ее график.

1. Область определения функции

Функция $y = 2 - x - x^2$ является квадратичной (многочленом). Область определения многочлена — все действительные числа.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат

С осью Oy:
Для нахождения точки пересечения с осью ординат (Oy) подставим $x = 0$ в уравнение функции:
$y(0) = 2 - 0 - 0^2 = 2$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 2)$.

С осью Ox:
Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (Ox) приравняем функцию к нулю: $y = 0$.
$2 - x - x^2 = 0$
Умножим обе части на -1 для удобства:
$x^2 + x - 2 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ или по теореме Виета.
Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2}$.
$x_1 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
$x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-2, 0)$ и $(1, 0)$.

Ответ: Точка пересечения с Oy: $(0, 2)$. Точки пересечения с Ox: $(-2, 0)$ и $(1, 0)$.

3. Четность и периодичность

Проверим функцию на четность. Для этого найдем $y(-x)$: $y(-x) = 2 - (-x) - (-x)^2 = 2 + x - x^2$.
Сравним с $y(x) = 2 - x - x^2$ и $-y(x) = -(2 - x - x^2) = -2 + x + x^2$.
Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. Функция является функцией общего вида.
Функция не является периодической.

Ответ: Функция общего вида, непериодическая.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума

Найдем первую производную функции:
$y' = (2 - x - x^2)' = -1 - 2x$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$-1 - 2x = 0$
$2x = -1$
$x = -0.5$.
Это единственная критическая точка. Определим знаки производной на интервалах, на которые эта точка разбивает область определения: $(-\infty; -0.5)$ и $(-0.5; +\infty)$.
При $x \in (-\infty; -0.5)$, например, $x = -1$: $y'(-1) = -1 - 2(-1) = 1 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция возрастает.
При $x \in (-0.5; +\infty)$, например, $x = 0$: $y'(0) = -1 - 2(0) = -1 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция убывает.
В точке $x = -0.5$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума.
Найдем значение функции в этой точке:
$y_{max} = y(-0.5) = 2 - (-0.5) - (-0.5)^2 = 2 + 0.5 - 0.25 = 2.25$.
Точка максимума: $(-0.5, 2.25)$.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; -0.5]$ и убывает на $[-0.5; +\infty)$. Точка максимума: $(-0.5, 2.25)$.

5. Промежутки выпуклости и точки перегиба

Найдем вторую производную функции:
$y'' = (y')' = (-1 - 2x)' = -2$.
Так как $y'' = -2 < 0$ для всех значений $x$, график функции является выпуклым вверх (вогнутым) на всей области определения.
Точек перегиба нет, так как вторая производная не меняет знак.

Ответ: График функции выпуклый вверх на $(-\infty; +\infty)$. Точек перегиба нет.

6. Построение графика

Графиком функции $y = 2 - x - x^2$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), значит, ветви параболы направлены вниз.
Вершина параболы находится в точке максимума $(-0.5, 2.25)$.
Используя все полученные данные (точки пересечения с осями, вершину), можно построить график. Основные точки:

• Вершина: $(-0.5, 2.25)$
• Пересечение с Oy: $(0, 2)$
• Пересечение с Ox: $(-2, 0)$ и $(1, 0)$
• Симметричная точке $(0, 2)$ относительно оси параболы $x = -0.5$ точка: $(-1, 2)$

Соберем данные в таблицу для построения:

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(-0.5, 2.25)$, ветвями, направленными вниз, пересекающая ось Oy в точке $(0, 2)$ и ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(1, 0)$.

Найдите абсциссу $x_0$ точки графика функции $y = f(x)$, в которой касательная к нему параллельна заданной прямой (14-17).

14. (3) $y = x^2 - 3x + 2$, прямая $2x + y = 5$.

14. (3)

Чтобы найти абсциссу $x_0$ точки, в которой касательная к графику функции $y = f(x)$ параллельна данной прямой, необходимо приравнять угловой коэффициент касательной к угловому коэффициенту данной прямой.

1. Найдем угловой коэффициент $k$ данной прямой $2x + y = 5$. Для этого выразим $y$, приведя уравнение к виду $y = kx + b$:
$y = -2x + 5$.
Угловой коэффициент этой прямой равен $k = -2$.

2. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $f'(x_0)$. Найдем производную функции $y = x^2 - 3x + 2$:
$y' = (x^2 - 3x + 2)' = 2x^{2-1} - 3x^{1-1} + 0 = 2x - 3$.

3. Так как касательная параллельна прямой, их угловые коэффициенты равны:
$f'(x_0) = k$
$2x_0 - 3 = -2$.

4. Решим полученное уравнение относительно $x_0$:
$2x_0 = -2 + 3$
$2x_0 = 1$
$x_0 = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: $0.5$.

$y = x^2 - 2x + 5$, прямая $y = 2x$.

Данная задача содержит уравнения параболы $y = x^2 - 2x + 5$ и прямой $y = 2x$. Поскольку в условии не указано, что именно нужно найти, мы начнем с анализа взаимного расположения этих кривых.

1. Проверка на наличие точек пересечения

Чтобы найти точки пересечения, необходимо решить систему уравнений, приравняв правые части: $x^2 - 2x + 5 = 2x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $x^2 - 4x + 5 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола и прямая не пересекаются. В связи с этим, они не ограничивают замкнутую область, и задача нахождения площади между ними не имеет смысла.

2. Нахождение уравнения касательной, параллельной данной прямой

Наиболее вероятная постановка задачи в данном контексте — это нахождение уравнения касательной к параболе, которая параллельна данной прямой.

Угловой коэффициент (наклон) прямой $y = 2x$ равен $k=2$. Искомая касательная должна быть параллельна этой прямой, поэтому ее угловой коэффициент также должен быть равен 2.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $y'(x_0)$. Найдем производную функции параболы $y = x^2 - 2x + 5$: $y' = (x^2 - 2x + 5)' = 2x - 2$

Приравняем производную к требуемому угловому коэффициенту $k=2$, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$: $2x_0 - 2 = 2$ $2x_0 = 4$ $x_0 = 2$

Теперь найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0 = 2$ в уравнение параболы: $y_0 = (2)^2 - 2(2) + 5 = 4 - 4 + 5 = 5$ Следовательно, точка касания — $(2, 5)$.

Используя уравнение прямой, проходящей через точку с заданным угловым коэффициентом, $y - y_0 = k(x - x_0)$, найдем уравнение касательной: $y - 5 = 2(x - 2)$ $y - 5 = 2x - 4$ $y = 2x + 1$

Ответ: $y = 2x + 1$.

16. (3)

$y = x^2$, прямая $y = -\frac{1}{2}x+5.$

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = -\frac{1}{2}x + 5$, необходимо решить систему, состоящую из этих двух уравнений. Для этого приравняем правые части уравнений, так как в точках пересечения координаты $x$ и $y$ у графиков совпадают.

Получаем уравнение с одной переменной $x$:$x^2 = -\frac{1}{2}x + 5$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:$x^2 + \frac{1}{2}x - 5 = 0$

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента:$2x^2 + x - 10 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. Коэффициенты уравнения: $a = 2$, $b = 1$, $c = -10$.

Вычисляем дискриминант:$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$

Поскольку дискриминант $D=81 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 9}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} = -2,5$

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 9}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Мы нашли абсциссы точек пересечения. Теперь найдем соответствующие им ординаты (координаты $y$), подставив полученные значения $x$ в одно из исходных уравнений. Проще всего использовать уравнение $y = x^2$.

При $x_1 = -2,5$:$y_1 = (-2,5)^2 = 6,25$.Координаты первой точки пересечения: $(-2,5; 6,25)$.

При $x_2 = 2$:$y_2 = 2^2 = 4$.Координаты второй точки пересечения: $(2; 4)$.

Ответ: $(-2,5; 6,25)$, $(2; 4)$.

17.
(3) $y=\frac{x^3}{3}-3x^2+10x-4$ прямая $y=3+x.$

17. (3)

Задача заключается в нахождении уравнения касательной к графику функции $y = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 10x - 4$, которая параллельна прямой $y = 3 + x$.

1. Находим угловой коэффициент.
Угловой коэффициент (наклон) данной прямой $y = x + 3$ равен коэффициенту при $x$, то есть $k=1$.
Поскольку искомая касательная параллельна этой прямой, её угловой коэффициент также должен быть равен 1.

2. Находим производную функции.
Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в этой точке, $y'(x_0)$.
Найдем производную функции $y(x)$:
$y' = (\frac{x^3}{3} - 3x^2 + 10x - 4)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x + 10 - 0 = x^2 - 6x + 10$.

3. Находим абсциссу точки касания.
Приравняем производную к угловому коэффициенту $k=1$, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:
$x_0^2 - 6x_0 + 10 = 1$
$x_0^2 - 6x_0 + 9 = 0$
Это уравнение является полным квадратом:
$(x_0 - 3)^2 = 0$
Отсюда, абсцисса точки касания: $x_0 = 3$.

4. Находим ординату точки касания.
Теперь найдем ординату точки касания $y_0$, подставив значение $x_0 = 3$ в исходное уравнение функции:
$y_0 = \frac{3^3}{3} - 3(3^2) + 10(3) - 4 = \frac{27}{3} - 3(9) + 30 - 4 = 9 - 27 + 30 - 4 = 8$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(3, 8)$.

5. Составляем уравнение касательной.
Уравнение касательной можно найти по формуле $y - y_0 = k(x - x_0)$, где $(x_0, y_0)$ — точка касания, а $k$ — угловой коэффициент.
Подставим наши значения: точку касания $(3, 8)$ и угловой коэффициент $k=1$:
$y - 8 = 1 \cdot (x - 3)$
$y - 8 = x - 3$
$y = x + 5$.

Ответ: $y = x + 5$.

18. (3)

В каких точках касательная к графику функции $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 7x - 4$ образует с осью $Ox$ угол $45?$

Угловой коэффициент касательной $k$ к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$. Также угловой коэффициент связан с углом наклона $\alpha$ касательной к положительному направлению оси Ox формулой $k = \tan(\alpha)$.

По условию, касательная образует с осью Ox угол $45^\circ$. Следовательно, угловой коэффициент касательной равен: $k = \tan(45^\circ) = 1$.

Таким образом, задача сводится к нахождению точек, в которых производная функции $f(x)$ равна 1.

Найдем производную функции $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 7x - 4$: $f'(x) = \left(\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 7x - 4\right)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{5}{2} \cdot 2x + 7 - 0 = x^2 - 5x + 7$.

Теперь приравняем производную к 1 и решим полученное уравнение, чтобы найти абсциссы искомых точек: $f'(x) = 1$ $x^2 - 5x + 7 = 1$ $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда легко находим корни: $x_1 = 2$ $x_2 = 3$.

Мы нашли абсциссы точек касания. Теперь найдем соответствующие ординаты, подставив эти значения в исходную функцию $f(x)$.

Для $x_1 = 2$: $y_1 = f(2) = \frac{2^3}{3} - \frac{5 \cdot 2^2}{2} + 7 \cdot 2 - 4 = \frac{8}{3} - \frac{5 \cdot 4}{2} + 14 - 4 = \frac{8}{3} - 10 + 10 = \frac{8}{3}$. Следовательно, первая точка имеет координаты $(2; \frac{8}{3})$.

Для $x_2 = 3$: $y_2 = f(3) = \frac{3^3}{3} - \frac{5 \cdot 3^2}{2} + 7 \cdot 3 - 4 = \frac{27}{3} - \frac{45}{2} + 21 - 4 = 9 - \frac{45}{2} + 17 = 26 - \frac{45}{2} = \frac{52}{2} - \frac{45}{2} = \frac{7}{2}$. Следовательно, вторая точка имеет координаты $(3; \frac{7}{2})$.

Ответ: $(2; \frac{8}{3})$ и $(3; \frac{7}{2})$.

19. (3) Составьте уравнения касательных к кривым $y=2x^2-5$ и $y=x^2-3x+5$, проведенных через точки пересечения этих кривых.

Для решения задачи необходимо сначала найти точки пересечения двух кривых, а затем для каждой точки пересечения составить уравнения касательных к каждой из кривых.

1. Нахождение точек пересечения кривых

Приравняем уравнения кривых, чтобы найти абсциссы точек пересечения:

$2x^2 - 5 = x^2 - 3x + 5$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 - x^2 + 3x - 5 - 5 = 0$

$x^2 + 3x - 10 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$

Теперь найдем ординаты (координаты $y$) для каждой точки пересечения, подставив найденные значения $x$ в уравнение любой из кривых. Возьмем $y = 2x^2 - 5$.

При $x_1 = 2$: $y_1 = 2(2)^2 - 5 = 2 \cdot 4 - 5 = 8 - 5 = 3$.

Первая точка пересечения: $A(2, 3)$.

При $x_2 = -5$: $y_2 = 2(-5)^2 - 5 = 2 \cdot 25 - 5 = 50 - 5 = 45$.

Вторая точка пересечения: $B(-5, 45)$.

2. Составление уравнений касательных

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$, где $f'(x_0)$ - значение производной в точке $x_0$.

Найдем производные для каждой функции:

Для кривой $y = 2x^2 - 5$, производная $y' = (2x^2 - 5)' = 4x$.

Для кривой $y = x^2 - 3x + 5$, производная $y' = (x^2 - 3x + 5)' = 2x - 3$.

Касательные в точке пересечения A(2, 3)

Для кривой $y = 2x^2 - 5$:
Найдем угловой коэффициент (значение производной) в точке $x_0 = 2$: $k_1 = 4 \cdot 2 = 8$.
Уравнение касательной: $y - 3 = 8(x - 2)$
$y - 3 = 8x - 16$
$y = 8x - 13$

Для кривой $y = x^2 - 3x + 5$:
Найдем угловой коэффициент в точке $x_0 = 2$: $k_2 = 2 \cdot 2 - 3 = 1$.
Уравнение касательной: $y - 3 = 1(x - 2)$
$y - 3 = x - 2$
$y = x + 1$

Касательные в точке пересечения B(-5, 45)

Для кривой $y = 2x^2 - 5$:
Найдем угловой коэффициент в точке $x_0 = -5$: $k_3 = 4 \cdot (-5) = -20$.
Уравнение касательной: $y - 45 = -20(x - (-5))$
$y - 45 = -20(x + 5)$
$y - 45 = -20x - 100$
$y = -20x - 55$

Для кривой $y = x^2 - 3x + 5$:
Найдем угловой коэффициент в точке $x_0 = -5$: $k_4 = 2 \cdot (-5) - 3 = -10 - 3 = -13$.
Уравнение касательной: $y - 45 = -13(x - (-5))$
$y - 45 = -13(x + 5)$
$y - 45 = -13x - 65$
$y = -13x - 20$

Ответ:
В точке $A(2, 3)$ уравнения касательных:
к кривой $y = 2x^2 - 5$ это $y = 8x - 13$;
к кривой $y = x^2 - 3x + 5$ это $y = x + 1$.
В точке $B(-5, 45)$ уравнения касательных:
к кривой $y = 2x^2 - 5$ это $y = -20x - 55$;
к кривой $y = x^2 - 3x + 5$ это $y = -13x - 20$.

20. (3) На графике функции $y = x(x-4)^3$ найдите точки, в которых касательные параллельны оси абсцисс.

Условие параллельности касательной оси абсцисс (оси $Ox$) заключается в том, что угловой коэффициент касательной равен нулю. Геометрический смысл производной состоит в том, что её значение в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Следовательно, чтобы найти искомые точки, необходимо найти производную функции, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение. Найденные корни будут являться абсциссами искомых точек.

Дана функция: $y = x(x-4)^3$.

1. Нахождение производной функции.

Для нахождения производной $y'$ используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = x$ и $v = (x-4)^3$.

Найдём производные $u'$ и $v'$:

$u' = (x)' = 1$

Для нахождения $v'$ используем правило дифференцирования сложной функции:

$v' = ((x-4)^3)' = 3(x-4)^{3-1} \cdot (x-4)' = 3(x-4)^2 \cdot 1 = 3(x-4)^2$

Теперь подставим найденные производные в формулу:

$y' = 1 \cdot (x-4)^3 + x \cdot 3(x-4)^2 = (x-4)^3 + 3x(x-4)^2$

Вынесем общий множитель $(x-4)^2$ за скобку для упрощения выражения:

$y' = (x-4)^2 \cdot ((x-4) + 3x) = (x-4)^2 \cdot (4x - 4) = 4(x-1)(x-4)^2$

2. Нахождение абсцисс точек.

Приравняем производную к нулю:

$y' = 0 \implies 4(x-1)(x-4)^2 = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

$x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$

$(x - 4)^2 = 0 \implies x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$

3. Нахождение ординат точек.

Подставим найденные значения $x$ в исходное уравнение функции $y = x(x-4)^3$, чтобы найти соответствующие значения $y$.

Для $x_1 = 1$:

$y_1 = 1 \cdot (1 - 4)^3 = 1 \cdot (-3)^3 = -27$

Первая точка: $(1, -27)$.

Для $x_2 = 4$:

$y_2 = 4 \cdot (4 - 4)^3 = 4 \cdot 0^3 = 0$

Вторая точка: $(4, 0)$.

Ответ: Точки, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс, имеют координаты $(1, -27)$ и $(4, 0)$.

21. (3) Покажите, что касательные, проведенные к графику функции $y = \frac{x-4}{x-2}$ в точках его пересечения с осями координат, параллельны.

Для того чтобы доказать, что касательные, проведенные к графику функции в точках его пересечения с осями координат, параллельны, необходимо найти угловые коэффициенты этих касательных. Если угловые коэффициенты равны, то прямые параллельны. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = y'(x_0)$.

1. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

Найдем точку пересечения с осью ординат (Oy), подставив $x=0$ в уравнение функции:

$y(0) = \frac{0-4}{0-2} = \frac{-4}{-2} = 2$

Следовательно, первая точка пересечения (и первая точка касания) — $A(0, 2)$.

Найдем точку пересечения с осью абсцисс (Ox), приравняв функцию к нулю ($y=0$):

$\frac{x-4}{x-2} = 0$

Данное равенство выполняется, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$x-4 = 0 \implies x=4$

Проверим знаменатель при $x=4$: $4-2 = 2 \neq 0$. Условие выполняется.

Следовательно, вторая точка пересечения (и вторая точка касания) — $B(4, 0)$.

2. Найдем производную функции.

Для нахождения производной функции $y=\frac{x-4}{x-2}$ используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u = x-4$ и $v = x-2$. Тогда их производные равны $u'=1$ и $v'=1$.

$y' = \frac{(x-4)'(x-2) - (x-4)(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{1 \cdot (x-2) - (x-4) \cdot 1}{(x-2)^2}$

$y' = \frac{x - 2 - x + 4}{(x-2)^2} = \frac{2}{(x-2)^2}$

3. Вычислим угловые коэффициенты касательных в найденных точках.

Угловой коэффициент $k_1$ касательной в точке $A(0, 2)$ равен значению производной при $x=0$:

$k_1 = y'(0) = \frac{2}{(0-2)^2} = \frac{2}{(-2)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Угловой коэффициент $k_2$ касательной в точке $B(4, 0)$ равен значению производной при $x=4$:

$k_2 = y'(4) = \frac{2}{(4-2)^2} = \frac{2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

4. Сравним угловые коэффициенты.

Мы получили, что угловые коэффициенты касательных в точках $A$ и $B$ равны между собой: $k_1 = k_2 = \frac{1}{2}$.

Так как угловые коэффициенты касательных равны, то касательные, проведенные к графику функции в точках его пересечения с осями координат, параллельны.

Ответ: Угловые коэффициенты касательных в точках пересечения графика с осями координат равны $k_1 = k_2 = \frac{1}{2}$, что доказывает их параллельность.

22. (3) В каких точках касательные к кривой $y=\frac{x^3}{3}-x^2-x+1$ параллельны прямой $y=2x-1$?

Чтобы найти точки, в которых касательные к кривой $y = \frac{x^3}{3} - x^2 - x + 1$ параллельны прямой $y = 2x - 1$, необходимо найти точки, в которых угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту данной прямой.

1. Нахождение углового коэффициента прямой
Уравнение прямой $y = 2x - 1$ представлено в виде $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k$ равен 2.

2. Нахождение углового коэффициента касательной
Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, $y'(x_0)$. Найдем производную функции $y = \frac{x^3}{3} - x^2 - x + 1$:
$y' = (\frac{x^3}{3} - x^2 - x + 1)' = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' - (x^2)' - (x)' + (1)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2x - 1 + 0 = x^2 - 2x - 1$.
Следовательно, угловой коэффициент касательной в произвольной точке $x$ равен $k_{кас} = x^2 - 2x - 1$.

3. Нахождение абсцисс точек касания
Условие параллельности касательной и прямой — это равенство их угловых коэффициентов: $k_{кас} = k$
$x^2 - 2x - 1 = 2$
Решим полученное квадратное уравнение: $x^2 - 2x - 3 = 0$
Используем теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 2$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -3$. Корнями уравнения являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

4. Нахождение ординат точек касания
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждой найденной абсциссы, подставив их в исходное уравнение кривой $y = \frac{x^3}{3} - x^2 - x + 1$.

Для $x_1 = 3$:
$y_1 = \frac{3^3}{3} - 3^2 - 3 + 1 = \frac{27}{3} - 9 - 3 + 1 = 9 - 9 - 3 + 1 = -2$.
Таким образом, первая точка касания — $(3, -2)$.

Для $x_2 = -1$:
$y_2 = \frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 - (-1) + 1 = -\frac{1}{3} - 1 + 1 + 1 = \frac{2}{3}$.
Таким образом, вторая точка касания — $(-1, \frac{2}{3})$.

Ответ: $(3, -2)$ и $(-1, \frac{2}{3})$.

23. (3) Вычислите координаты точек пересечения с осью Oy тех касательных к графику функции $y = \frac{x+4}{x-5}$, которые образуют угол $135^\circ$ с осью Ox.

Угловой коэффициент $k$ касательной равен тангенсу угла, который касательная образует с положительным направлением оси $Ox$. Согласно условию, этот угол составляет $135^{\circ}$.
$k = \tan(135^{\circ}) = -1$.

Значение производной функции в точке касания $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной: $y'(x_0) = k$.
Найдем производную функции $y = \frac{x+4}{x-5}$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$y' = \frac{(x+4)'(x-5) - (x+4)(x-5)'}{(x-5)^2} = \frac{1 \cdot (x-5) - (x+4) \cdot 1}{(x-5)^2} = \frac{x-5-x-4}{(x-5)^2} = \frac{-9}{(x-5)^2}$.

Приравняем производную к угловому коэффициенту $k=-1$, чтобы найти абсциссы $x_0$ точек касания:
$\frac{-9}{(x_0-5)^2} = -1$
$(x_0-5)^2 = 9$
Это уравнение имеет два решения:
$x_0-5 = 3 \implies x_0 = 8$
$x_0-5 = -3 \implies x_0 = 2$.
Следовательно, существуют две касательные, удовлетворяющие условию задачи.

Теперь найдем уравнения этих касательных, используя формулу $y = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0)$.
Первая касательная (в точке с абсциссой $x_0 = 2$):
Найдем ординату точки касания: $y(2) = \frac{2+4}{2-5} = \frac{6}{-3} = -2$.
Уравнение касательной: $y = -2 + (-1)(x - 2) \implies y = -2 - x + 2 \implies y = -x$.
Вторая касательная (в точке с абсциссой $x_0 = 8$):
Найдем ординату точки касания: $y(8) = \frac{8+4}{8-5} = \frac{12}{3} = 4$.
Уравнение касательной: $y = 4 + (-1)(x - 8) \implies y = 4 - x + 8 \implies y = -x + 12$.

Для нахождения координат точек пересечения касательных с осью $Oy$, подставим $x=0$ в их уравнения.
Для касательной $y = -x$: при $x=0$, $y=0$. Координаты точки пересечения: $(0, 0)$.
Для касательной $y = -x + 12$: при $x=0$, $y=12$. Координаты точки пересечения: $(0, 12)$.

Ответ: $(0, 0)$ и $(0, 12)$.

24. (3) Составьте уравнение параболы $y=x^2+bx+c$, касающейся прямой $y=-x$ в точке M(1; -1).

Для нахождения коэффициентов $b$ и $c$ параболы $y = x^2 + bx + c$ воспользуемся условиями, данными в задаче.

1. Парабола проходит через точку касания M(1; -1). Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению параболы. Подставим $x=1$ и $y=-1$ в уравнение:

$-1 = 1^2 + b \cdot 1 + c$

$-1 = 1 + b + c$

Из этого следует первое уравнение, связывающее $b$ и $c$:

$b + c = -2$

2. В точке касания угловой коэффициент касательной к параболе должен быть равен угловому коэффициенту прямой $y = -x$. Угловой коэффициент прямой $y = -x$ равен $-1$.

Угловой коэффициент касательной к параболе в любой точке $x$ равен значению ее производной $y'$. Найдем производную функции $y = x^2 + bx + c$:

$y' = (x^2 + bx + c)' = 2x + b$

В точке касания M абсцисса $x=1$. Найдем значение производной в этой точке:

$y'(1) = 2 \cdot 1 + b = 2 + b$

Приравняем угловые коэффициенты параболы и прямой в точке касания:

$2 + b = -1$

Отсюда находим значение коэффициента $b$:

$b = -1 - 2 = -3$

Теперь подставим найденное значение $b=-3$ в первое уравнение $b + c = -2$, чтобы найти $c$:

$-3 + c = -2$

$c = -2 + 3 = 1$

Мы нашли коэффициенты: $b=-3$ и $c=1$. Таким образом, искомое уравнение параболы имеет вид:

$y = x^2 - 3x + 1$

Ответ: $y = x^2 - 3x + 1$