Номер 10, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. (2) $y = x^2 - 2x$.

Для того чтобы развернуто решить задачу, проведем полное исследование функции $y=x^2-2x$.

Данная функция является квадратичной функцией вида $y = ax^2+bx+c$, где коэффициенты равны $a=1$, $b=-2$ и $c=0$. Графиком этой функции является парабола. Поскольку старший коэффициент $a=1$ положителен ($a > 0$), ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Подставив значения коэффициентов, получаем: $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$. Для нахождения ординаты вершины, подставим полученное значение $x_v=1$ в уравнение функции: $y_v = 1^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$. Таким образом, вершина параболы имеет координаты $(1, -1)$. Осью симметрии параболы является вертикальная прямая, проходящая через вершину, ее уравнение $x=1$.

Далее найдем точки пересечения графика с осями координат. Для нахождения точки пересечения с осью ординат (OY), необходимо подставить $x=0$ в уравнение функции: $y = 0^2 - 2 \cdot 0 = 0$. Следовательно, график пересекает ось OY в начале координат, в точке $(0, 0)$.

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (OX), необходимо решить уравнение $y=0$, то есть $x^2-2x=0$. Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобку: $x(x-2)=0$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находим два корня: $x_1=0$ и $x_2=2$. Значит, график пересекает ось OX в двух точках: $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Область определения данной функции — это множество всех действительных чисел, так как функция является многочленом: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений функции определяется положением вершины и направлением ветвей. Так как ветви направлены вверх, а минимальное значение функция принимает в вершине ($y_v = -1$), то область значений функции — это все числа, большие или равные $-1$: $E(y) = [-1; +\infty)$.

Собрав все полученные данные, мы можем охарактеризовать функцию и построить ее график. Ключевые точки для построения: вершина $(1, -1)$, точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Ответ: Функция $y=x^2-2x$ — это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Ветви параболы направлены вверх. Координаты вершины: $(1, -1)$. Ось симметрии: $x=1$. Точки пересечения с осью OX: $(0, 0)$ и $(2, 0)$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 0)$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[-1; +\infty)$.